编程珠玑第二章第八题的解答

      问题描述：给定一个具有n个元素的实数集，一个实数t，一个整数k，如何快速的确定该实数集是否存在一个k个元素的子集，
其中各个元素的的总和之多为t
。
      拿到这个题目，我首先想到的是快排，但是使用快排算法对n个元素进行排序，时间复杂度为nlog(n)。如果你使用的是堆排序的话，
那么效率又提高了，因为在这个题目中，我们需要的只是前k个最小元素，所以使用堆排序更合理，时间复杂度为nlog(k),但是作者在书中给出的提示
是时间复杂度需要达到o(n)级别，所以上述两种方法全部失效了。

     其实这是一个典型的topk问题，就是在一个集合中，找出前k个最小或者最大的数。问题的关键在于找出第k小个数。这里我参考别人的思想：


     本算法跟快排的思想相似，首先在数组中选取一个数centre作为枢纽，将比centre小的数，放到centre的前面将比centre大的数，放到centre的后面。如果此时centre的位置刚好为k，则centre为第k个最小的数；如果此时centre的位置比k前，则第k个最小数一定在centre后面，递归地在其右边寻找；如果此时centre的位置比k后，则第k个最小数一定在centre后面，递归地在其左边寻找。


      注意：centre的位置=其下标值+1，因为数组中的第一个元素的下标为0。

     从上面的描述中，我们可以看到这个算法运用了减治的方法求解。减治的思想与分治非常相似，同样是在一次操作中，削减问题的规模，只是分治把每个子问题求解后，要合并每个子问题的解才能得到问题，而减治的方法，却不用合并子问题的解，子问题的解，直接就是原问题的解。举个例子来说，就像快排和二分查找算法，前者是分治，后者是减治。因为快排要等到所有的子数组都排完序，原数组才有序，而二分查找却不用，它每执行一次查找，直接丢弃一半的数组，而不用合并子问题的解。不过也有不少书，把他们都归为分治法。

        代码如下：

//问题描述：给定一个具有n个元素的实数集，一个实数t，一个整数k，如何快速的确定该实数集是否存在一个k个元素的子集，其中各个元素的的总和之多为t//程序的时间复杂度为o(n)。//首先需要在数组中找出第k个小的数字。#include<iostream>#include <algorithm>using namespace std;int find_kth_min(int *array, int left,int right,const int k,const int size ){if (left >= right || left < 0 || k < 1 || k > right + 1){                               //注意考虑极端情况。cerr << "接受的参数有误" << endl;exit(1);}int center = array[right];int i = left;int j = right - 1;while(true){                                     //经过这一步，所有的比center大的都在center的右边，所有的比center小的都在center的左边while(array[i] <= center && i < size-1)      //不能让数组越界！否则就等着悲剧把++ i;while(array[j] >= center && j >= 1)          //不能让数组越界！否则就等着悲剧吧-- j;if (i < j)swap(array[i],array[j]);else break;}swap(array[i],array[right]);                    //以arrar[right]为分界线，左边全是比他小的，右边全是比他大的if (i+1 == k){return array[i];}else if (i+1 < k){find_kth_min(array,i+1,right,k,size);}else {find_kth_min(array,left,i-1,k,size);}}int main(){                                                         const int k = 6;                                     //返回第六小的数，注意从1开始计数。int a[] = {2,4,6,7,5,11,3,5,6,32,5,2,4};       const int size = sizeof(a)/sizeof(int);               //这种方式计算数组的长度，应该鼓励使用。int k_th_min;k_th_min = find_kth_min(a,0,size-1,k, size);          //返回第k小的数//下面计算前k个小的数之和是不是小于t。int sum = 0;                                          //sum是计算前k个小的数字的总和int number = 0;for(int i = 0;i < size; ++i){if (a[i] < k_th_min){sum += a[i];    number ++;}}number ++;if (number < k){                                      //这里要特别注意了，表明第K个最小的数，不止一个，那么就需要修正上面计算的sumsum += (k-number)*k_th_min;number += k-number;}sum += k_th_min;cout << number << " " << sum;                        //得到最终的前k个最小的数的总和.return 0;}

     这个算法的时间复杂度，平均来说是o(n)，解释来自王晓东的计算机算法分析与设计中的第二章第9节，即2.9中有这个算法的描述和介绍。里面说它的时间复杂度为O（N），好像计算这个时间复杂度需要用到微分，我没看懂，结论就是这个算法的平均时间复杂度是o(n).惭愧，需要学习的东西很多。如果有问题，欢迎指正，谢谢，我的QQ1527927373.

     另外程序参考了ljianhui的专栏。但是它的程序中出现了一些小错误，已经被我改正。这个算法的好处是在求topk时，平均的时间复杂度是o(N)