网络流—最大流（Edmond-Karp算法）

看到calmound的博客终于看懂了网络流，大概都能明白网络流的思想。

首先要先清楚最大流的含义，就是说从源点到经过的所有路径的最终到达汇点的所有流量和

EK算法的核心
反复寻找源点s到汇点t之间的增广路径，若有，找出增广路径上每一段[容量-流量]的最小值delta，若无，则结束。
在寻找增广路径时，可以用BFS来找，并且更新残留网络的值(涉及到反向边)。
而找到delta后，则使最大流值加上delta，更新为当前的最大流值。

这么一个图，求源点1，到汇点3的最大流

由于我是通过模版真正理解ek的含义，所以先上代码，通过分析代码，来详细叙述ek算法

ViewCode

显而易见capacity存变的流量，进行ek求解

对于BFS找增广路：

1.        flow[1]=INF，pre[1]=0;

      源点1进队列，开始找增广路，capacity[1][2]=40>0，则flow[2]=min(flow[1],40)=40;

      capacity[1][4]=20>0,则flow[4]=min(flow[1],20)=20;

      capacity[2][3]=30>0,则flow[3]=min(folw[2]=40，30)=30；

      capacity[2][4]=30,但是pre[4]=1(已经在capacity[1][4]这遍历过4号点了)

       capacity[3][4].....

       当index=4（汇点），结束增广路的寻找

       传递回increasement（该路径的流），利用前驱pre寻找路径

路径也自然变成了这样：

2.flow[1]=INF，pre[1]=0;

 源点1进队列，开始找增广路，capacity[1][2]=40>0，则flow[2]=min(flow[1],40)=40;

       capacity[1][4]=0!>0,跳过

      capacity[2][3]=30>0,则flow[3]=min(folw[2]=40，30)=30；

      capacity[2][4]=30,pre[4]=2，则flow[2][4]=min(flow[2]=40,20)=20;

       capacity[3][4].....

       当index=4（汇点），结束增广路的寻找

       传递回increasement（该路径的流），利用前驱pre寻找路径

 图也被改成

  

接下来同理

这就是最终完成的图，最终sumflow=20+20+10=50（这个就是最大流的值）

 

 

PS，为什么要有反向边呢？

 

我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路，这条路上的delta值显然是1。于是我们修改后得到了下面这个流。（图中的数字是容量）

 

这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了，我们再也找不到其他的增广路了，当前的流量是1。

但这个答案明显不是最大流，因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4，这样可以得到流量为2的流。

那么我们刚刚的算法问题在哪里呢？问题就在于我们没有给程序一个”后悔”的机会，应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。那么如何解决这个问题呢？回溯搜索吗？那么我们的效率就上升到指数级了。

而这个算法神奇的利用了一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边(I,j)都有一条反向边(j,i)，反向边也同样有它的容量。

我们直接来看它是如何解决的：

在第一次找到增广路之后，在把路上每一段的容量减少delta的同时，也把每一段上的反方向的容量增加delta。即在Dec(c[x,y],delta)的同时，inc(c[y,x],delta)

我们来看刚才的例子，在找到1-2-3-4这条增广路之后，把容量修改成如下

这时再找增广路的时候，就会找到1-3-2-4这条可增广量，即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后，得到了最大流2。

 

那么，这么做为什么会是对的呢？我来通俗的解释一下吧。

事实上，当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候，就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给”退”了回去，不走2-3这条路，而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。（有人问如果这里没有2-4怎么办，这时假如没有2-4这条路的话，最终这条增广路也不会存在，因为他根本不能走到汇点）同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来”接管”。而最终2-3这条路正向流量1，反向流量1，等于没有流量。

这就是这个算法的精华部分，利用反向边，使程序有了一个后悔和改正的机会。而这个算法和我刚才给出的代码相比只多了一句话而已。

至此，最大流Edmond-Karp算法介绍完毕。