欧拉函数总结【数论】【欧拉函数】

来源：互联网发布：语文四年级优化答案编辑：程序博客网时间：2024/05/21 03:24

欧拉函数的定义:euler(k)=([1,n-1]中与n互质的整数个数).

eg：euler(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

可以推出以下公式：

euler(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))
=k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);
=k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)

故euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

根据以上性质可以推出：

若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;

若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);

欧拉公式的延伸：

一个数的所有质因子之和是euler(n)*n/2。
一个质数n的欧拉函数是n-1

下面给出求euler函数的程序：

//直接求解欧拉函数，返回euler(n)int euler(int n){      int res=n,a=n;     for(int i=2;i*i<=a;i++){         if(a%i==0){             res=res/i*(i-1);   //先进行除法是为了防止中间数据的溢出             while(a%i==0) a/=i;         }     }     if(a>1) res=res/a*(a-1);     return res;}

在给出一个筛法打euler函数表：

//筛选法打欧拉函数表#define Max 1000001int euler[Max];void Init(){     euler[1]=1;     for(int i=2;i<Max;i++)       euler[i]=i;     for(int i=2;i<Max;i++)        if(euler[i]==i)           for(int j=i;j<Max;j+=i)              euler[j]=euler[j]/i*(i-1);}

先撸一题：

poj3090 代码

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