403 D. Beautiful Pairs of Numbers

来源：互联网发布：php手册 pdf 编辑：程序博客网时间：2024/06/10 16:39
/* 题意:给定n和k,问满足1<=a1<=b1<a2<=b2<a3<=b3<...<ak<=bk<=n,并且b1-a1,b2-a2,b3-a3...bk-ak互不相同的组数. 假设x1=b1-a1,x2=b2-a2,x3=b3-a3,...,xk=bk-ak 则可以得到a1+x1+...+xk+k-1<=n,我们要求它的非负整数解 也就是要求x1+x2+...+xk<=n-a1+1的正整数解 我们通过枚举a1求解. 那问题的实质就变成了求x1+x2+...+xk<=n的互不相同的正整数解 注意到n的范围只有1000,所以k一定小于46. 设计dp方程:dp[i][j][k]:前i个数,和为j,并且最后一个是k的方法数(默认递增排序) 则dp[i][j][k]=sum(dp[i-1][j-k][p]),其中p<k. 这样的复杂度是50*n^3,不仅超时,而且超内存. 注意到dp方程每次只是取一个前缀和,我们可以只用一个sum数组来对dp值进行更新和维护,并且将复杂度降到50*n^2 并且在确定了sum[i][k][k](前i个数,和为k,最大值小于等于k的方法数)后,我们需要乘上一个组合数,来安排解之间的空间 */#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;#define LL long long//int  dp[55][1111][1111];int  sum[46][1001][1001];//int  g[55][1111];int  f[55][1111];int  C[1111][1111];LL  fac[55];const int MOD = 1000000007;void init(){    C[0][0]=1;    for(int i=1;i<1001;i++)    {        C[i][0]=1;        for(int j=1;j<1001;j++)        {            C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1])%MOD;        }    }    //dp[0][0][0]=1;    sum[0][0][0]=1;    for(int i=1;i<46;i++)    {        for(int j=1;j<=1000;j++)        {            for(int k=1;k<=1000;k++)            {                if(k>j)  break;                //dp[i][j][k] = sum[i-1][j-k][min(k-1,j-k)];                int tmp = sum[i-1][j-k][min(k-1,j-k)];//这句很关键.1111100000                /*                for(int p=0;p<k;p++)                {                    if(j-k<p)   break;                    dp[i][j][k] = (dp[i][j][k] + dp[i-1][j-k][p])%MOD;                }                 */                sum[i][j][k] = (sum[i][j][k-1] + tmp)%MOD;            }        }    }        //printf("%lld %lld\n",dp[1][1][1],dp[1][2][2]);        fac[0]=1;    for(int i=1;i<55;i++)    {        fac[i]=(fac[i-1]*i)%MOD;    }    for(int i=1;i<46;i++)    {        for(int j=1;j<=1000;j++)        {            for(int k=i*(i+1)/2;k<=j;k++)            {                LL  tmp = ((LL)C[j-k+i-1][i-1]*(LL)sum[i][k][k])%MOD;                f[i][j] = (f[i][j] + tmp)%MOD;            }            f[i][j] = ((LL)f[i][j]*fac[i])%MOD;        }    }        //printf("%lld %lld\n",f[2][4],f[2][3]);}void solve(int n,int k){    LL  ans = 0;    for(int i=n;;i--)    {        if(k*(k+1)/2>i)            break;        ans = (ans + f[k][i])%MOD;    }    printf("%lld\n",ans);}int main(){    init();    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        int n,k;        scanf("%d%d",&n,&k);        if(k>=46)        {            printf("0\n");            continue;        }        solve(n,k);    }    return 0;}
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