博弈 个人 见解

因为周测被虐，做了好久的博弈题，找了好多关于博弈的相关资料，感觉自己，似乎还是动了那么一点点。临睡前，就小小的总结一下，希望以后看到的时候，能够有所感悟吧！！

接下来是正题。

讲到博弈， 其实也就是找规律，但是知道一般的博弈类型可以快速便捷的解决问题。

博弈的类型大致有以下几种：巴什博弈，威佐夫博奕，尼姆博弈。除此之外还有斐波那契博弈，sg模板等。

巴什博弈：（摘自百度文库）

巴什博奕（Bash Game）：

只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。
     显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。
     这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。

巴什博弈主要内容是：n%(m+1)是否为零。 要是为零的话，就是先手输，否则，先手赢

威佐夫博奕：（以下关于定义的语句，为了保持说明的完整性·准确性，均摘自网络百度文库，下面就不在说明）

威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
     这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
     可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k，奇异局势有如下三条性质：
     1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
     由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 >ak-1 。所以性质1。成立。
     2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
     事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。
     3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。
     假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b   - bk个物体，即变为奇异局势；如果 a = ak ，   b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势（ ab - ak , ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k）,从第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b - aj 即可。
     从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。
     那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：
     ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k   （k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函数)奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1。618...,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异
局势。

威佐夫博奕的思想就是那个公式：判断等号两边是否相等a(a是较小的数)==floor（（b-a）*（（sqrt（5.0）+1）/2）) 

要是相等的话就是先手输，否则先手赢

尼姆博弈：

尼姆博弈基本思想：

       两人从n堆物品中取任意个，先取完者胜。

       即将n堆物品的数量异或，得到的值如果为0，则先手败，反之先手胜。

       如果要求先手在胜的条件下，到奇异局势的方法数，则判断异或的值与每一堆原值异或后（结果应该表示该堆没有参加异或时的异或值）与原值比较大小，

如果小于，则方法数加一。且对应的方法后，该堆的数目应变为异或的值与每一堆原值异或的值。

尼姆博弈的主要内容就是：对每堆的数量进行异或运算

Fibonacci’s Game（斐波那契博弈）
斐波那契博弈模型，大致上是这样的：
有一堆个数为 n 的石子，游戏双方轮流取石子，满足：
1. 先手不能在第一次把所有的石子取完；
2. 之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。
约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

 

（转）分析：     
 n = 2时输出second；    
 n = 3时也是输出second；
 n = 4时，第一个人想获胜就必须先拿1个，这时剩余的石子数为3，此时无论第二个人如何取，第一个人都能赢，输出first；
 n = 5时，first不可能获胜，因为他取2时，second直接取掉剩下的3个就会获胜，当他取1时，这样就变成了n为4的情形，所以输出的是second；  
 n = 6时，first只要去掉1个，就可以让局势变成n为5的情形，所以输出的是first；     
 n = 7时，first取掉2个，局势变成n为5的情形，故first赢，所以输出的是first；    
 n = 8时，当first取1的时候，局势变为7的情形，第二个人可赢，first取2的时候，局势变成n为6得到情形，也是第二个人赢，取3的时候，second直接取掉剩下的5个，所以n = 8时，输出的是second；   
 …………     
 从上面的分析可以看出，n为2、3、5、8时，这些都是输出second，即必败点，仔细的人会发现这些满足斐波那契数的规律，可以推断13也是一个必败点。     
 借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。n=12时，只要谁能使石子剩下8且此次取子没超过3就能获胜。因此可以把12看成8+4，把8看成一个站，等价与对4进行"气喘操作"。又如13，13=8+5，5本来就是必败态，得出13也是必败态。也就是说，只要是斐波那契数，都是必败点。
所以我们可以利用斐波那契数的公式：fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]，只要n是斐波那契数就输出No。

  常用的博弈类型，基本就是这些。以后碰见更多的再来补充。