POJ 2299 Ultra-QuickSort 【归并排序求逆序数 OR 树状数组求逆序数】

POJ2299 Ultra-QuickSort 【归并排序求逆序数 OR 树状数组求逆序数】http://poj.org/problem?id=2299

Ultra-QuickSort

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Description

In this problem, you have to analyze a particular sorting algorithm. The algorithm processes a sequence of n distinct integers by swapping two adjacent sequence elements until the sequence is sorted in ascending order. For the input sequence 
9 1 0 5 4 ,
Ultra-QuickSort produces the output 
0 1 4 5 9 .
Your task is to determine how many swap operations Ultra-QuickSort needs to perform in order to sort a given input sequence.

Input

The input contains several test cases. Every test case begins with a line that contains a single integer n < 500,000 -- the length of the input sequence. Each of the the following n lines contains a single integer 0 ≤ a[i] ≤ 999,999,999, the i-th input sequence element. Input is terminated by a sequence of length n = 0. This sequence must not be processed.

Output

For every input sequence, your program prints a single line containing an integer number op, the minimum number of swap operations necessary to sort the given input sequence.

Sample Input

59105431230

Sample Output

60

Source

Waterloo local 2005.02.05

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【题意】很直接的题目描述，题目输入一个数组，数组元素的大小在0->999.999.999的范围内，元素个数为0-500000范围。题目要求通过相邻的元素的交换，使得输入的数组变为有序，要求输出交换的次数？例如：输入9 1 0 5 4 ，把他变成0 1 4 5 9 ， 要经过多少次交换。

【分析】求总的交换的次数，这个问题和求出数组的总的逆序数是一样的！

【方法一】归并排序实现求数组的逆序数，这个是归并排序的一个应用！

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn = 500000 + 20;long long n;long long a[maxn], c[maxn], cnt;void mergeSort(int l, int r){    long long mid, i, j, tmp;    if(r >l+1){        mid = (l+r)/2;        mergeSort(l, mid);        mergeSort(mid, r);        tmp = l;        for(i=l, j=mid; i<mid && j<r; ){            if(a[i]>a[j]){                c[tmp++] = a[j++];                cnt += mid-i;//总的逆序数            }            else c[tmp++] = a[i++];        }        if(j<r) for(; j<r; j++) c[tmp++] = a[j];        else for(; i<mid; i++) c[tmp++] = a[i];        for(i=l; i<r; i++) a[i] = c[i];    }}int main(){    while(~scanf("%lld", &n) && n!=0)    {        for(int k=0; k<n; k++)            scanf("%lld", &a[k]);        cnt = 0;        mergeSort(0, n);        printf("%lld\n", cnt);    }    return 0;}

【方法二】树状数组求逆序数，具体的说是 离散化+树状数组。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#include <cstdlib>using namespace std;const int maxn = 500000 + 10;int N;struct node{    int value;    int id;}input[maxn];//存储输入的数组，id是原序号，value是数值int aa[maxn];//存储离散化操作后的结果int cmp(node a, node b){    return a.value < b.value;}int c[maxn];//树状数组，每次开始时都清零int lowbit(int x){    return x & (-x);}void upDate(int x, int d){    while(x<=N){        c[x] += d;        x += lowbit(x);    }}int getSum(int x){    int ret = 0;    while(x>0){        ret += c[x];        x -= lowbit(x);    }    return ret;}int main(){    while(cin>>N && N!=0)    {        for(int i=1; i<=N; i++){            scanf("%d", &input[i].value);            input[i].id = i;        }        sort(input+1, input+1+N, cmp);        for(int i=1; i<=N; i++)            aa[input[i].id] = i;//以上代码为离散化操作        //运用树状数组计算逆序数        for(int i=1; i<=N; i++) c[i] = 0;        long long ans = 0;        for(int i=1; i<=N; i++)        {            upDate(aa[i], 1);            ans += (i-getSum(aa[i]));        }        cout<<ans<<endl;    }    return 0;}

【分析】

算法的大体流程就是：

1.先对输入的数组离散化，使得各个元素比较接近，而不是离散的，

2.接着，运用树状数组的标准操作来累计数组的逆序数。

 

算法详细解释： 

1.解释为什么要有离散的这么一个过程？

    刚开始以为999.999.999这么一个数字，对于int存储类型来说是足够了。

    还有只有500000个数字，何必要离散化呢？

    刚开始一直想不通，后来明白了，后面在运用树状数组操作的时候，

    用到的树状数组C[i]是建立在一个有点像位存储的数组的基础之上的，

    不是单纯的建立在输入数组之上。

    比如输入一个9 1 0 5 4，那么C[i]树状数组的建立是在，

    下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 

    数组 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

    现在由于999999999这个数字相对于500000这个数字来说是很大的，

    所以如果用数组位存储的话，那么需要999999999的空间来存储输入的数据。

    这样是很浪费空间的，题目也是不允许的，所以这里想通过离散化操作，

    使得离散化的结果可以更加的密集。 

 

2. 怎么对这个输入的数组进行离散操作？

   离散化是一种常用的技巧，有时数据范围太大，可以用来放缩到我们能处理的范围；

   因为其中需排序的数的范围0---999 999 999；显然数组不肯能这么大；

   而N的最大范围是500 000；故给出的数一定可以与1.。。。N建立一个一一映射；

   ①当然用map可以建立，效率可能低点；

   ②这里用一个结构体

   struct Node

   {

      int v,ord;

   }p[510000];和一个数组a[510000];

   其中v就是原输入的值，ord是下标；然后对结构体按v从小到大排序；

   此时，v和结构体的下标就是一个一一对应关系，而且满足原来的大小关系；

   for(i=1;i<=N;i++) a[p[i].ord]=i;

   然后a数组就存储了原来所有的大小信息；

   比如 9 1 0 5 4 ------- 离散后aa数组就是 5 2 1 4 3；

   具体的过程可以自己用笔写写就好了。 

 

3. 离散之后，怎么使用离散后的结果数组来进行树状数组操作，计算出逆序数？ 

    如果数据不是很大， 可以一个个插入到树状数组中， 

    每插入一个数， 统计比他小的数的个数，

    对应的逆序为 i- getsum( aa[i] ),

    其中 i 为当前已经插入的数的个数， 

    getsum( aa[i] ）为比 aa[i] 小的数的个数, 

    i- sum( aa[i] ) 即比 aa[i] 大的个数， 即逆序的个数

    但如果数据比较大，就必须采用离散化方法

    假设输入的数组是9 1 0 5 4， 离散后的结果aa[] = {5,2,1,4,3}; 

在离散结果中间结果的基础上，那么其计算逆序数的过程是这么一个过程。

1，输入5，   调用upDate(5, 1),把第5位设置为1 

1 2 3 4 5 

0 0 0 0 1

计算1-5上比5小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（5） = 1操作， 

现在用输入的下标1 - getSum(5) = 0 就可以得到对于5的逆序数为0。

2. 输入2， 调用upDate(2, 1),把第2位设置为1 

1 2 3 4 5 

0 1 0 0 1

计算1-2上比2小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（2） = 1操作， 

现在用输入的下标2 - getSum(2) = 1 就可以得到对于2的逆序数为1。

3. 输入1， 调用upDate(1, 1),把第1位设置为1 

1 2 3 4 5

1 1 0 0 1

计算1-1上比1小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（1） = 1操作， 

现在用输入的下标 3 - getSum(1) = 2 就可以得到对于1的逆序数为2。

4. 输入4， 调用upDate(4, 1),把第5位设置为1 

1 2 3 4 5

1 1 0 1 1

计算1-4上比4小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（4） = 3操作， 

现在用输入的下标4 - getSum(4) = 1 就可以得到对于4的逆序数为1。

5. 输入3， 调用upDate(3, 1),把第3位设置为1 

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

计算1-3上比3小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（3） = 3操作， 

现在用输入的下标5 - getSum(3) = 2 就可以得到对于3的逆序数为2。

6. 0+1+2+1+2 = 6 这就是最后的逆序数 

 

分析一下时间复杂度，首先用到快速排序，时间复杂度为O(NlogN),

后面是循环插入每一个数字，每次插入一个数字，分别调用一次upData()和getSum()

外循环N, upData()和getSum()时间O(logN) => 时间复杂度还是O(NlogN).

最后总的还是O(NlogN).