图论的简单知识结构

本文出自：Svitter的Blog 以及 Github

图论Graph

8/8/2014 9:23:16 AM

图的基本概念

图的定义 Defination

• 图是由顶点集合(Vertex)及顶点间的关系集合(边Edge)组成的一种数据结构: > Graph＝( V, E )

• 顶点Vertex

  V = {x | x ∈ 某个数据对象}

• 边的集合Edge

  E = {(x, y) | x,y ∈ V }

  E = {(x, y) | x， y ∈ V && path(x，y)

• Path（x, y)表示从x到y的一条单向通路——说明什么？<!--（有方向）-->

• 由此我们可以得出

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有向图 && 无向图 ||( Directed graph && Oriented graph)

• 在有向图中，顶点对是有序的。

• 在无向图中，顶点对( x, y )是无序的。

完全图 Complete graph

• 有n个顶点的无向图有n(n-1)/2条边，则此图为无向完全图（为什么？）<!--除了他本身，可以到达具有任何一个顶点的边 -->
  
• 有n个顶点的有向图有n(n-1)条边，则此图为有向完全图 （这又是为什么？）

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邻接顶点 (Adjacency Vertex)

• 如果(u, v) 是 E(G) 中的一条边，则称 u 与 v 互为邻接顶点
• 两个顶点之间有一条有向边，则称两个顶点相邻

子图 Subgraph

• 设有两个图G＝(V, E) 和G'＝(V', E')。若V'≤ V 且E≤'E, 则称图G'是图G的子图

权 Weights

• 某些图的边具有与它相关的数, 称之为权。这种带权图叫做网络

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顶点的度 (degrees of the vertices)

• 一个顶点v的度是与它相关联的边的条数。记作TD(v)。
• 在有向图中, 顶点的度等于该顶点的入度（in-degree）与出度（out-degree）之和
• 顶点 v 的入度是以 v 为终点的有向边的条数, 记作 ID(v)
• 顶点 v 的出度是以 v 为始点的有向边的条数, 记作 OD(v)

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路径 Path

• 在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿一些边经过一些顶点 vp1, vp2, …, vpm，到达顶点vj。则称顶点序列 (vi vp1 vp2 ... vpm vj) 为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。它经过的边(vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj) 应是属于E的边。 ###路径长度
• 非带权图的路径长度是指此路径上边的条数。
• 带权图的路径长度是指路径上各边的权之和。 ###简单路径
  
• 若路径上各顶点 v1, v2, ..., vm 均不 互相重复, 则称这样的路径为简单路径 ###回路 loop
• 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合, 则称这样的路径为回路或环

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连通图与连通分量

• 在无向图中, 若从顶点v1到顶点v2有路径, 则称顶点v1与v2**连通**。
• 如果图中任意一对顶点都是连通的, 则称此图是连通图。
• 非连通图的极大连通子图叫做连通分量。

强连通图与强连通分量

• 在有向图中, 若对于每一对顶点vi和vj, 都存在一条从vi到vj和从vj到vi的路径, 则称此图是强连通图。(任意两个顶点相互可达）
• 非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量。

生成树(Spaning tree)

• 一个连通图的生成树是其极小连通子图，在 n 个顶点的情形下，有 n-1 条边。

图的基本知识就到这里了，如果有必要可以继续往下看。

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特别注意的点

悬挂点

• 度数为1的点为悬挂点，与之相关联的边称为悬挂边。

握手定理

• 所有顶点的度数等于边数的两倍
• 在任何顶点中，奇度顶点的个数是偶数 （为什么？）

欧拉图

• a = 通过图中所有边有且仅有一次行遍所有顶点的通路，称为欧拉通路
• b = 通过图中所有边有且仅有一次行遍所有顶点的回路，称为欧拉回路
• a && b为欧拉图， a && ~b为半欧拉图

无向图是欧拉图当且仅当G是连通图且没有奇度顶点

• 证明比较难讲，但是想起来很好想，如果有了奇度顶点，出去怎么回来？

相关文献：哥尼斯堡七桥问题

• 有向图G是半欧拉图的条件是G是连通的且恰有两个奇度顶点
• 有向图D是欧拉图的条件是 当且仅当D是强联通的且每个顶点的入度 == 出度

哈密顿图

• a = 通过图中所有顶点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路
• b = 通过图中所有顶点一。。。。。。。。。回路称为哈密顿回路

• 平凡图属于哈密顿图。

• 树也是图。树是什么样的图？顶点为n，边数为n-1的图

空图

• 顶点集为空的图，定义为空图

孤立点

• 没有关联边的顶点称为孤立点

图的表示方法 C语言

邻接矩阵(Adjacency Matrix)

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逻辑结构

• 在图的邻接矩阵表示中，有一个记录各个顶点信息的顶点表，还有一个表示各个顶点之间关系的邻接矩阵。
• 设图 A = (V, E) 是一个有 n 个顶点的图, 图的邻接矩阵是一个二维数组 A.edge[n][n]，定义

存储结构

• 最简单的形式就是使用一个二维数组来存储，由于太过简单，这里就不展示了。

邻接表

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逻辑结构

• 邻接表是邻接矩阵的改进形式。为此需要把邻接矩阵的各行分别组织为一个单链表。
• 在邻接表中，同一个顶点发出的边链接在同一个边链表中，每一个链结点代表一条边（边结点），结点中有另一顶点的下标 dest 和指针 link。对于带权图，边结点中还要保存该边的权值cost。
• 顶点表的第 i 个顶点中保存该顶点的数据，以及它对应边链表的头指针adj。
• 你联想到了什么？

存储结构

• 使用vector来实现，或者使用new开辟新的数组
• code

#include <iostream>#include <vector>#include <cstdio>using namespace std;//If G is a tree//half of n is enough;#define MAXN 1000// N 为节点个数typedef vector <int> vint;vector <vint> G(MAXN);//遍历使用clear()函数, 清空使用的空间void Insert(int a, int i){    G[a].push_back(i);}void DFS(int v){    for(int i = 0; i < G[v].size(); i++)        DFS(G[v][i]);}int main(){    G.clear();    return 0;}

存边的写法，类似于哈希表中的拉链法

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struct Arc{    int next_arc;    int point;};#define MAXN 1000#define MAXE 1000int node[MAXN];Arc arc[E];//  以u开始，以v结束int EdgeCount = 0;;void AddEdge(int u, int v){    arc[EdgeCount].next_arc = node[u];    arc[EdgeCount].point = v;    node[u] = EdgeCount;    EdgeCount++;}