欧几里得算法-----欧几里德算法

欧几里得算法

欧几里得算法又称辗转相除法，主要用于计算两个整数a，b的最大公约数。

原理：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)（这里a>=b）

         （gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|）

证明gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)：a可以表示成a = kb + r，则r= a mod b   假设d是a,b的一个公约数，则有d|a、 d|b（a|b表示a整除b），而r = a - kb，因此d|r，因此d是(b,a mod b)的公约数；假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d| b ， d |r ，因为a = kb +r，所以d也是(a,b)的公约数。因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，证毕。

函数gcd的代码如下：C/C++代码

①递归

可运行代码：

#include<stdio.h>#include<iostream>using namespace std;//递归法实现gcdint gcd(int a,int b){    if(b==0) return a;    else return gcd(b,a%b);}int main(){    int m,n;    scanf("%d%d",&m,&n);    //cin>>m>>n;    printf("%d\n",gcd(m,n));    //cout<<gcd(m,n)<<endl;    return 0;}

核心代码：

//递归法实现gcdint gcd(int a,int b){    if(b==0) return a;    else return gcd(b,a%b);}

或者

//递归法实现gcdint gcd(int a,int b){    return b?gcd(b,a%b):a;}

②迭代

可运行代码：

#include<stdio.h>#include<iostream>using namespace std;//迭代法实现gcdint gcd(int a,int b){    int c;    while(b)    {        c=a%b;        a=b;        b=c;    }    return a;}int main(){    int m,n;    scanf("%d%d",&m,&n);//cin>>m>>n;    printf("%d\n",gcd(m,n));//cout<<gcd(m,n)<<endl;    return 0;}

核心代码：

//迭代法实现gcdint gcd(int a,int b){    int c;    while(b)    {        c=a%b;        a=b;        b=c;    }    return a;}