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数列通项的求法(二)

来源：互联网发布：网络老男孩教程编辑：程序博客网时间：2024/05/17 01:29

对于形如： ${a_{n + 1}} = p{\alpha _n} + q{a_{n - 1}$ 的数列，可以考虑将其修改为下面这种形式：

${a_{n + 1}} - \alpha {a_n} = \beta ({\alpha _n} - \alpha {a_{n - 1}})$

那么很容易求出：

${a_{n + 1}} - \alpha {a_n} = \beta^n ({\alpha _1} - \alpha {a_0})=\beta^nA$

再利用递推关系很容易求出通项表达式：

${a_n} = A{\beta ^{n - 1}} + \alpha {a_{n - 1}}$

$= A{\beta ^{n - 1}} + \alpha (A{\beta ^{n - 2}} + \alpha {a_{n - 2}})$

$= A{\beta ^{n - 1}} + \alpha A{\beta ^{n - 2}} + {\alpha ^2}(A{\beta ^{n - 3}} + \alpha {a_{n - 3}})$

$= A({\beta ^{n - 1}} + \alpha {\beta ^{n - 2}} + {\alpha ^2}{\beta ^{n - 3}} + \cdots {\alpha ^{n - 2}}\beta + {\alpha ^{n - 1}}) + {\alpha ^n}{a_0}$

$= A\frac{{{\beta ^n} - {\alpha ^n}}}{{\beta - a}} + {a_0}{\alpha ^n}$

至于 $\alpha,\beta$ 的求解，很容推导得到它就是下列一元二次方程的两个根：

$x^2 = px+q$

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