关于数位dp

"在信息学竞赛中，有一类与数位有关的区间统计问题。这类问题往往具有比较浓厚的数学味道，无法暴力求解，需要在数位上进行递推等操作。"

——刘聪《浅谈数位类统计问题》

这类问题往往需要一些预处理，这就用到了数位dp。

题目中常需要统计区间[l ,r]的满足题意的数的个数，这往往可以转化成求 [0, r+1) - [0, l )。

对于求区间[ 0, n)有一个通用的方法：

对于一个小于n的数，肯定是从高位到低位出现某一位<n的那一位。

比如n=58  n为十进制数。

      x=49，十位<n;  x=51, 个位<n；

根据该性质，我们可以从高到底枚举第一次<n对应的是哪一位，这样之前的位已确定，之后的位不受n的限制，可以从0~99...9，这部分可以先预处理，然后直接统计答案。

预处理f 数组：

f [ i, st ]表示位数为i（可能允许前导0），状态为st 的方案数。这里的st根据题目需要而定。

决策第i位是多少，

f[i,st]=f[i,st]+f[i-1,st']，st‘为相应的状态。

例题：

hdu2089:给定区间[n,m]，求在n到m中没有“62”或“4”的数的个数。如62315包含62,88914包含4，这两个数都不合法。0<n<=m<1000000

分析：预处理f 数组：f [i,j]表示首位为j的i位数中不含“62”或“4”的数的个数。

                                f[i,st]=f[i,st]+f[i-1,st']，st‘为相应的状态，就该题，下一位的相应状态为：下一位不为4&&若该位为6，下一位不为2

统计区间[0,n)：从高到底枚举哪一位比n小，然后枚举这一位的取值，加上合法的情况。！接下来，要判断已经确定的位数是否出现4或62，如果是，则直接结束枚举。因为之后的位数无论怎样取，该数都不合法。

代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<algorithm>#include<cmath>#include<cstring>#include<stack>#include<queue>#include<map>#include<set>using namespace std;int f[10][10];int cal(int n){    int len=0,num[10],sum=0,i,j;    num[0]=0;    while(n)    {        num[len]=n%10;        len++;        n/=10;    }    num[len]=0;    for(i=len-1;i>=0;i--)//从高位到低位枚举    {        for(j=0;j<num[i];j++)        {            if(j!=4&&!(j==2&&num[i+1]==6))                sum+=f[i+1][j];        }        if(num[i]==4||num[i+1]==6&&num[i]==2)//判断已确定的位数是否合法            break;    }    return sum;}int main(){    int n,m,i,j,k;    memset(f,0,sizeof(f));    f[0][0]=1;    for(i=1;i<=7;i++)    {        for(j=0;j<=9;j++)        {            for(k=0;k<=9;k++)            {                if(j!=4&&!(j==6&&k==2))//判断情况是否合法                    f[i][j]+=f[i-1][k];            }        }    }    while(scanf("%d %d",&n,&m)&&(n||m))    {        int sum=cal(m+1)-cal(n);        printf("%d\n",sum);    }    return 0;}

未完待续.....