每天进步一点点——求最大子序列和问题

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假设有如下整数数组 -10 5 0 8 -1 10 -10 100 -1 求其最大的子序列和。从该数组我们可以知道其子序列和最大的序列为5 0 8 -1 10 -10 100且等于112。（为方便起见，如果数组全是负数则最大和为0）

处理这个问题，我们可以有如下四种方法：

方法一：时间复杂度为O(N^3)

int MaxSubSum1(const std::vector<int>& vec)

{

    int max = 0;

    for (int i = 0; i < vec.size(); ++i) {

        for (int j = 0; j < vec.size(); ++j) {

            int sum = 0;

            for (int x = i; x <= j; ++x) {

                sum += vec[x];

            }

            if (sum > max) {

                max = sum;

            }

        }

    }

    return max;

}

该方法是求出所有子序列的和，然后在得出最大的和。

方法二：时间复杂度为O(N^2)

int MaxSubSum2(const std::vector<int>& vec)

{

    int max = 0;

    for (int i = 0; i < vec.size(); ++i) {

        int sum = 0;

        for (int j = i; j < vec.size(); ++j) {

            sum += vec[j];

            if (sum > max) {

                max = sum;

            }

        }

    }

    return max;

}

因为后一子序列的和为前面序列和加上后面一元素，所以在前面子序列和已被求出的情况下可以少一次循环

方法三：时间复杂度为O(N log(N))

int MaxSubSum3(const std::vector<int>& vec, int left, int right)

{

    if (right == left) {

        if (vec[left] > 0) {

            return vec[left];

        } else {

            return 0;

        }

    }

    int center = (right + left) / 2;

    int left_max_sum = MaxSubSum3(vec, left, center);

    int right_max_sum = MaxSubSum3(vec, center + 1, right);

    int left_sum = 0;

    int left_max = 0;

    for (int i = center; i >= left; --i) {

        left_sum += vec[i];

        if (left_sum > left_max) {

            left_max = left_sum;

        }

    }

    int right_sum = 0;

    int right_max = 0;

    for (int i = center + 1; i <= right; ++i) {

        right_sum += vec[i];

        if (right_sum > right_max) {

            right_max = right_sum;

        }

    }

    return std::max(std::max(left_max_sum, right_max_sum), (right_max + left_max));

}

该方法是左右划分数组，然后递归分别求出每个被划分数组的最大和

方法四：时间复杂度为O(N)

int MaxSubSum4(const std::vector<int>& vec)

{

    int sum = 0;

    int max = 0;

    for (int i = 0; i < vec.size(); ++i) {

        sum += vec[i];

        if (sum > max) {

            max = sum;

        } else if (sum < 0) {

            sum = 0;

        }

    }

    return max;

}

这种方法是最为高效的，一次扫描数组就能求出，具有这种特性的算法叫作联机算法（on-line algorithm）

#include <iostream>#include <vector>#include <stdlib.h>int main(int argc, char const *argv[]){    if (argc < 2) {        std::cout << "./program int ... int" << std::endl;        return -1;    }    std::vector<int> vec;    vec.reserve(argc - 1);    for (int i = 0; i < argc - 1; ++i) {        vec.push_back(strtol(argv[i + 1], nullptr, 10));    }    std::cout << MaxSubSum1(vec) << std::endl;    std::cout << MaxSubSum2(vec) << std::endl;    std::cout << MaxSubSum3(vec, 0, vec.size() - 1) << std::endl;    std::cout << MaxSubSum4(vec) << std::endl;    return 0;}

编译g++ -std=c++11 main.cc -o sum

运行./sum -10 5 0 8 -1 10 -10 100 -1

输出如下：

112

112

112

112