LeetCode | Sqrt(x)

Implement int sqrt(int x).

题目解析：

求开方根，只是求解整数，比较容易，如果求解double类型的，就要考虑精度问题。

题型一：求整数根

先讲解求解整数根的情况。

题目简单，可以直接让i从0...x的增加，比如要能取到x不然，x为2的时候，根据实现会报错。某些时候也可以更精确到x/2。但由于是递增，不用考虑那么详细。

不过这里会碰到问题，就是越界的问题，有些时候，用long long都不好用，还得用unsigned long long才行，如下面：

方案一：

采用二分法：

int sqrt(int x) {        // Start typing your C/C++ solution below        // DO NOT write int main() function        unsigned long long begin = 0;        unsigned long long end = (x+1)/2;        unsigned long long mid;        unsigned long long tmp;        while(begin < end)        {            mid = begin + (end-begin)/2;            tmp = mid*mid;            if(tmp==x)return mid;            else if(tmp<x) begin = mid+1;            else end = mid-1;        }        tmp = end*end;        if(tmp > x)            return end-1;        else            return end;    }

方案二：

但是为什么非要用相乘呢？通过判断mid > x/mid等条件也能得到相应答案。这样就避免了大数相乘的问题。代码如下：

class Solution {public:    int sqrt(int x) {        if(x < 0)            return -1;        if(x==0 || x==1)            return x;        for(int i = 1;i <= x;i++){            if(i == x/i){                return i;            }else if(i > x/i)                return i-1;        }    }};

这个方法能很好的扩展到其他问题，应该记住。

方案三：

这就涉及到用几何问题去解决。但这个里面用double类型的数当中间值，来精确求解。

牛顿迭代法

   为了方便理解，就先以本题为例：

   计算x² = n的解，令f(x)=x²-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。

   首先取x₀，如果x₀不是解，做一个经过(x₀,f(x₀))这个点的切线，与x轴的交点为x₁。

   同样的道理，如果x₁不是解，做一个经过(x₁,f(x₁))这个点的切线，与x轴的交点为x₂。

   以此类推。

   以这样的方式得到的x_i会无限趋近于f(x)=0的解。

   判断x_i是否是f(x)=0的解有两种方法：

   一是直接计算f(x_i)的值判断是否为0，二是判断前后两个解x_i和x_i-1是否无限接近。

 

经过(x_i, f(x_i))这个点的切线方程为f(x) = f(x_i) + f’(x_i)(x - x_i)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出x_i+1=x_i - f(x_i) / f'(x_i)。

继续化简，x_i+1=x_i - (x_i² - n) / (2x_i) = x_i - x_i / 2 + n / (2x_i) = x_i / 2 + n / 2x_i = (x_i + n/x_i) / 2。

有了迭代公式x_i+1= (x_i + n/x_i) / 2，程序就好写了。关于牛顿迭代法，可以参考wikipedia以及百度百科。

int sqrt(int x) {// Start typing your C/C++ solution below        // DO NOT write int main() function        if (x ==0)            return 0;        double pre;        double cur = 1;        do        {            pre = cur;            cur = x / (2 * pre) + pre / 2.0;        } while (abs(cur - pre) > 0.00001);        return int(cur);    }

题型二：double型平方根

方案一：

对于小数有个精度的问题，那么定义0.000001范围内就认为两个数相等。

public double sqrt(double x) {if (x < 0) return -1;double left  = 0;double right = (x < 1) ? 1 : x;double maxDiff = 0.000001;do {double mid = left + (right - left) / 2;if (Math.abs(x - mid * mid) <= maxDiff) {return mid;} else if (x - mid * mid < 0) {right = mid;} else {left = mid;}} while (true);}

可以参考链接：http://blog.csdn.net/maqingli87/article/details/8051610

里面有好几种方法。