自然对数的底

簡單的說，e就是增長的極限。

寫了兩段發現舉例子部份各種公式要貼圖實在是太瑣碎了。強烈要求知乎加強編輯器的功能！！

投降了..還是把果殼的文章搬過來吧..
http://www.guokr.com/article/50264/ 

假定有一种单细胞生物，它每过24小时分裂一次。
那么很显然，这种生物的数量，每天都会翻一倍。今天是1个，明天就是2个，后天就是4个。我们可以写出一个增长数量的公式：

上式中的x就表示天数。这种生物在x天的总数，就是2的x次方。这个式子可以被改成下面这样：

其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内的增长率。

我们继续假定：每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。
因此，一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。

当这一天结束的时候，我们一共得到了2.25个细胞。其中，1个是原有的，1个是新生的，另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。
如果我们继续修改假设，这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力，也就是将1天分成3个阶段。

那么，最后我们就可以得到大约2.37个细胞。
很自然地，如果我们进一步设想，这种分裂是连续不断进行的，新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力，那么一天最多可以得到多少个细胞呢？

当n趋向无限时，这个式子的极值等于2.718281828...。

因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

这个值是自然增长的极限，因此以e为底的对数，就叫做自然对数。

原文：http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/

翻译讲解：阮一峰