asymptotic notation and recursion

终于放暑假啦。

在家窝了两天，尝试着看了看《编程之美》，发现里面的东西虽然有趣，但作为系统学习算法的资料却不太合适。所以还是从最基本的学起，计划这个暑假粗学一遍算法导论，主要是考虑到还要准备GRE，想要仔细研究恐怕没时间。

写这个系列主要是给自己做一个备忘录和心得。考虑到接下来接触到的东西可能会越来越多，很容易遗忘，这样一个东西也许能帮助我回想起来。当然，也可以作为读者的一个checklist，你们可以在看的时候check一下这块知识我有没有掌握。我个人认为所谓掌握就是能像老师一样讲给别人听，让别人也听懂。由于时间的原因，我将不会在这里记录完整的笔记，而且这也没有必要，因为东西书上都有。

值得一提的是我在学习的过程中看了MIT的6046号课程视频，在网易上有公开课。我个人认为听课是帮助人们快速学习的最好方式，尽管也许不大深入理解，但是效率很高，鉴于我时间有限，故我采用的是听课加看书结合的方式，以课为主。课程一共有19讲，昨天和今天看了1,2讲，以后会以每天一讲的速度学习下去，所以写这个东西也算是给自己一个任务，以免自己荒废了。

进入主题

渐进分析：直白的说就是忽略低次项和常数参数的来进行算法复杂度分析，比如2n^2+n+2我们只分析n^2。这种分析方式的great之处在于，我们不在乎某个有限输入的复杂度，而在乎它的增长，即当输入规模为无穷大的时候算法的复杂度。诚然 ，肯定存在当输入规模比较小的时候，100n^2比n^3复杂度大，但最终前者会远小于后者，而我们关注最终情况

渐进符号：O, o, big Omega, small Omega, big Theta，需要弄清楚谁是upper/lower/tight upper/tight lower bound，另外要明白任何输入规模的函数f(n)，只对应唯一的big Theta.

递归式：给出初始条件和递归方程的式子，例如给出：

T(n) = Theta(1)  ( n = 1 )

T(n) = 4*T(n/2) + n ( n > 1)

递归式的解：有三种方法可以计算复杂度

1. 代换法：这个方法很简单，但是说起来有点逗比，就是猜一个T(n)的答案，然后验证。。。

比如上面的那个递归式，高中数学学得还行的同学肯定都能猜到解应该是a*n^2+b*n这样的形式，所以直接带入求得结果求出是n^2-n。

2. 递归树法：这个方法的特点是图示，易于理解，我这里不好表示，大家自行看书或者视频吧。

3. 主方法：这个方法好处是直接给出答案，缺点是对递归式的形式有要求，另外前两种方法能求出T(n)的确切值，但是这种方法只能求出big Theta的值。这种方法需要用代换法验证。

好啦，今天就到这儿了，明天见