走台阶问题

问题

老师给我们出了一道题，说的是腾讯的一道面试题：一个楼梯有N个台阶，每一步可以走一个台阶，也可以走两个台阶，也可以走三个台阶。请问走完这个楼梯共有多少种方法？我以前也碰到过整数划分问题，跟这个问题有点相像，不过整数划分问题更难点。写出来和大家分享一下。

举个例子，假设有3个台阶，则有四种走法：分别是，1-1-1, 1-2, 2-1，3。

分析

很简单的一道题，学过组合数学的人很快就能想到，这是一个递推关系。假设走完k个台阶有f(k)种走法。

• k = 1时，f(k) = 1
• k = 2时，f(k) = 2
• k = n时，第一步走一个台阶，剩n-1个台阶，有f(n - 1)种走法。第一步走两个台阶，剩n-2个台阶，有f(n - 2)种走法，第一步走三个台阶，剩n-3个台阶，有f(n - 3)种走法。所以共有f(n - 1) + f(n - 2) + f(n-3)种走法。

于是有如下公式:

代码

递归算法：

#include<iostream>using namespace std;int AllStep(int N,int m){if(N < 1)return 0;if(N == 1)return 1;if(N == 2)return 2;if(N == m)return 4;return AllStep(N-1,m) + AllStep(N-2,m) + AllStep(N-3,m);}int main(){int nSteps;int step = 3;//最大一步走三阶cout<<"please input the total steps:";cin>>nSteps;cout<<"All step ways are:"<<AllStep(nSteps,step)<<endl;return 0;}