12小球称重问题

题目：
已知有12个小球，一样的形状和外观，其中有一个是次品，现在给你一个无砝码的天平，称三次，

把这个次品找出来，并且求出这个次品相对真品是偏重还是偏轻？

解答：
首先把小球分成三堆，每堆四个。
      

    A:(1,2,3,4)
 
   B:(5,6,7,8)
 
   C:(9,10,11,12)
情况 一：
1 第一称重
随便拿出两堆来称， 这里不妨假设拿出A和B
                                  
           
A(1,2,3,4)------------------------ B(5,6,7,8)

结果有两种可能性，第一种A和B相等，第二种A和B不相等。
对于第一种AB相等的情况。
那么C中肯定有一个次品了。接下来做第二次称重。
   从AB中随便拿三个，从C中也随便拿三个
       D(1,2,3)---------------  E(9,10,11)
第二次称重也有两种可能。
2．1 如果还是相等的话
        那么剩下12就是次品。
        第三次称重
        随便拿一个球和最后剩下的12球相称就知道结果了。

   2．2 如果第二次称重不相等的话。这里我们假设D<E, 那么E中肯定有一个是次品，而且我们可以知道次品相对于真品来说是偏重的。
       从E中任意拿两个出来做第三次称重。
       F (10)------- G(11)
       如果F＝＝G 那么  9 是次品，而且次品是偏重的。
       如果 F > G 那么   10 是次品，而且次品是偏重的。
       如果 F < G 那么   11 是次品，而且次品是偏重的。
   好了，到这里为止，对于一次称重出现相等的情况，我们已经给出了解答。
   那么对于第一次称重就出现不相等的情况，我们做一下分析：

情况二：
1 第一称重 A B 不相等。我们不妨假设 A < B, 那么C中的9，10，11，12小球必然都是真品。注意这

个技巧是解决问题的关键。我们注意到这样一个事实如果只是交互真品，天平的状态是不会改变的。

好，我们做以下的交换

         H (1,9,10,11) -----------------------------I(2,3,4,5)
因为我们知道9，10，11三个小球都是真品。现在做第二次称重。有两种情况：
2．1 天平保持原来的状态，也就是说 H < I, 那么我们可以知道2，3，4，6，7，8，9，10，11，12

都是真品，1，5小球中有一个是次品。好了，现在我们可以做第三次称重，从1，5中随便拿一个小球，

这里我们拿1小球，从2，3，4，6，7，8，9，10，11，12中随便拿一个，这里我们拿9小球。

做第三次称重，就可以知道结果了。

2．2 天平的状态发生了改变，这里还是有两种情况，第一种 H == I,第二种H > I
第一种 对于 H == I 来说，我们知道1，2，3，4，5 ，9，10，11，12 都是真品，

那么6,7,8,必定有一个是次品，因为，第一次称重的时候，我们知道 H < I ,那么也就是说次品是偏重的。

从6，7，8 任意拿出两个来称重，不妨拿出6，7做第三次称重，结果就出来了。
第二种 对于H > I 来说。我们可以知道2，3，4中必定有一个是次品。而且次品相对于真品来说是偏轻的。

因为原来 H < I ,现在是H > I ,那么必定是移动偏轻的次品才会导致这种情况。好，我们从2，3，4中

任意拿出两个，不妨拿出2，3 做第三次称重，就可以知道结果了。

解答完毕。