POJ 1716 Integer Intervals（贪心 | 查分约束）

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部分内容有改动。

题目大意：

给出数轴上的n个区间，给个区间都是连续的int区间。

给出要在数轴上任意取一堆元素，构成一个元素集合V

要求每个区间和元素集合V的交集至少有两个不同的元素

求集合V最小的元素个数

解题思路：

一、贪心算法

先对所有区间按末端点排序

取第i个区间的最后两个元素Selem和Eelem

若第i+1个区间包含了这两个区间，则跳到下一个区间，所取的元素个数+0

若第i+1个区间包含了这两个元素中的一个（由于有序，所以必定是包含Eelem），则取第i+1个区间的最后一个元素，所取的元素个数+1。为了方便下一个区间的比较，更新Selem和Eelem的值，是他们为当前V集合中最后的两个元素。

若第i+1个区间没有包含这两个元素，则第i+1个区间的最后两个元素，所取的元素个数+2， 为了方便下一个区间的比较，更新Selem和Eelem的值，使他们为当前V集合中最后的两个元素。

Selem初始化为第一个区间的最后倒数第2个元素

Eelem初始化为第一个区间的最后的元素

所取的元素个数初始化为2（就是Selem和Eelem）

二、查分约束+Relax

设s[x] = 从0到x的所有在集合中的数的个数

则ai到bi的个数即为s[bi]-s[ai-1]

因此有

（1）s[bi] - s[ai-1]  >= 2

又根据s[x]本身的性质，

后面的一定不比前面的小，后面的的最多比前面的多以，有：

（2）s[i+1] - s[i] >= 0

（3）s[i+1] - s[i] <= 1

故建图，是途中每一组边，均满足（注意三条式子的不等号方向要一致，这个很重要）

s[ai-1]  <= s[bi]  -  2

s[i]       <=  s[i-1]  + 1

s[i-1]    <=  s[i]

上面三式，可以把s[x]看做源点（假设存在）到个点的最短距离，初始化为0；

常数为边（ai-1, bi）的比边权

当存在不满足这三条式子的边时，对这条边进行Relax操作，更新不等号左边的变量。

其实就是Bellman-Ford算法的核心部分

if( S[ai - 1] > S[bi] – 2 )   S[ai - 1] = S[bi] – 2 ；

if( S[i] > S[i - 1] + 1 )   S[i] > S[i - 1] + 1 ；

if( S[i - 1] > S[i] )   S[i - 1] = S[i] ；

最后源点到最大顶点的距离减去源点到最小顶点的距离就是所求（其实一个单位距离就代表V中的一个元素；最小顶点到最大顶点其实就是所有输入的区间中，最小的左端点到最大的右端点这个范围）。

代码：

//Memory Time //284K   94MS/*Greed*/#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;typedef class{public:int s,e;}interval;      //间隔（区间）int cmp(const void* a,const void* b){interval* x=(interval*)a;interval* y=(interval*)b;return (x->e) - (y->e);  //对区间按末端点排序}int main(void){int n; //区间数while(cin>>n){interval* inter=new interval[n];for(int i=0;i<n;i++)cin>>inter[i].s>>inter[i].e;qsort(inter,n,sizeof(interval),cmp);  //对区间按末端点排序int Selem=inter[0].e-1 , Eelem=inter[0].e;  //当前区间所取的两个元素，初始化为第0个区间最后两个元素int sum=2;  //至少取sum个元素才能保证每个区间至少含有其中的2个元素for(int k=1;k<n;k++)if(inter[k].s<=Selem)  //前一个区间所取的两个元素都在当前区间内continue;  //则当前区间无需取任何元素else if(inter[k].s<=Eelem)  //前一个区间所取的只有一个元素在当前区间内{Selem=Eelem;Eelem=inter[k].e;  //按序更新当前区间所取的两个元素：Selem与Eelemsum++;  //Eelem是新取的一个元素}else  //前一个区间所取的没有一个元素在当前区间内{Selem=inter[k].e-1;Eelem=inter[k].e;  //按序更新当前区间所取的两个元素：Selem与Eelemsum+=2;  //Selem与Eelem是新取的两个元素}cout<<sum<<endl;delete inter;}return 0;}

//Memory Time //296K  282MS /*Difference Constraints*/#include<iostream>using namespace std;const int inf=20000;class{public:int s,e;}inter[10001];int dist[10001];  //源点到各点的距离int n; //区间数int upli;int doli; // UpLimit , Downlimit 上下限int main(int i){while(cin>>n){upli=0;doli=inf;/*Input*/for(i=0;i<n;i++){int a,b;cin>>a>>b;inter[i].s=a;inter[i].e=b+1;if(doli>inter[i].s)  //寻找最小的顶点doli=inter[i].s;if(upli<inter[i].e)  //寻找最大的顶点，inter[k].e必大于inter[k].s，因此无需再与inter[k].s比较upli=inter[i].e;dist[i]=0; //初始化源点到各点的距离}/*Bellman-Ford:Relax*/bool flag=true;while(flag)  //只要某一次Relax没有更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，可以跳出relax{flag=false;for(i=0;i<n;i++)if(dist[ inter[i].s ]>dist[ inter[i].e ]-2){dist[ inter[i].s ]=dist[ inter[i].e ]-2;flag=true;  //Relax对路径有更新}for(i=doli;i<upli;i++)if(dist[i+1]>dist[i]+1){dist[i+1]=dist[i]+1;flag=true;}for(i=upli-1;i>=doli;i--)   //这里逆向松弛(从upli到doli)比正向松弛(从doli到upli)快了500msif(dist[i] > dist[i+1]){dist[i] = dist[i+1];flag = true;}}cout<<dist[upli]-dist[doli]<<endl;}return 0;}