2014.08.14 Orz教主第六次模拟赛 总结

今天迎来了Orz教主的最后一次模拟赛。

总分400 ，230 ， Floz同学220分Rank2，但是他是隐藏的Rank1（T1他只有20，实际得分应该是300）。

话不多说，上题，上总结。【本次的题目在tyvj均有原题】

T1 ： 教主的花园 

        可以把教主的花园附近区域抽像成一个正方形网格组成的网络，每个网格都对应了一个坐标（均为整数，有可能为负），若两个网格(x1, y1)，(x2, y2)有|x1 – x2| + |y1 – y2| = 1，则说这两个网格是相邻的，否则不是相邻的。
　　教主在y = 0处整条直线上的网格设置了一道屏障，即所有坐标为(x, 0)的网格。当然，他还要解决他自己与内部人员的进出问题，这样教主设置了N个入口a1, a2, …, aN可供进出，即对于y = 0上的所有网格，只有 (a1, 0)，(a2, 0)， ……， (aN, 0) 可以通过，之外的所有纵坐标为0的网格均不能通过，而对于(x, y)有y不为0的网格可以认为是随意通过的。
　　现在教主想知道，给定M个点对(x1, y1)，(x2, y2)，并且这些点均不在屏障上，询问从一个点走到另一个点最短距离是多少，每次只能从一个格子走到相邻的格子。

数据范围：

　　对于20%的数据，有n，m≤10，ai，xi，yi绝对值不超过100；
　　对于40%的数据，有n，m≤100，ai，xi，yi绝对值不超过1000；
　　对于60%的数据，有n，m≤1000，ai，xi，yi绝对值不超过100000；
　　对于100%的数据，有n，m≤100000，ai，xi，yi绝对值不超过100000000。

       仔细读题 ，题目大意就是：在X轴上设立N个出入口（ai，0），穿过X轴时必须从这些点穿过，不能走X轴上其他的点。给定M个点对(x1, y1)，(x2, y2)，求两点之间的距离，每次只能向上下左右四个方向走一个单位。

      对于每个点对，有两种可能：

      一、不用穿过X轴【直接相减】

      二、要穿过X轴 【找到最近的出入口，使得两个点到出入口的距离和最小】

      要找最近的出入口，只需要最多O（N），用二分可以在（log N）解决。总时间O（M log N）。

T2 教主泡嫦娥

题目：（太长，我就总结一下）

题目大意：给出一个高度序列H[i]，要从中任选一个点作为起点走一圈【没错走一圈，H[n]下一个就是H[1]】。

教主可以选择从任意一个落脚点开始，顺时针或者逆时针走，每次走到一个相邻的落脚点，并且最后回到这个落脚点。
　　教主在任意时刻，都会有“上升”、“下降”两种状态的其中一种。

　　当教主从第i个落脚点（H[i]），走到第j个落脚点（H[j]）的时候（i和j相邻）
　　j的海拔高于i的海拔：如果教主处于上升状态，教主需要耗费两段高度差的绝对值的体力；否则耗费高度差平方的体力。
　　j的海拔低于i的海拔：如果教主处于下降状态，教主需要耗费两段高度差的绝对值的体力；否则耗费高度差平方的体力。

       当然，教主可以在到达一个落脚点的时候，选择切换自己的状态（上升→下降，下降→上升），每次切换需要耗费M点的体力。在起点的时候，教主可以自行选择状态并且不算切换状态，也就是说刚开始教主可以选择任意状态并且不耗费体力。

       求：走一圈的最小体力花费

数据范围：

       对于10%的数据，N ≤ 10；
　　对于30%的数据，N ≤ 100，a[i] ≤ 1000；
　　对于50%的数据，N ≤ 1000，a[i] ≤ 100000；
　　对于100%的数据，N ≤ 10000，a[i] ≤ 1000000，M ≤ 1000000000；

对于50%的数据，是比较容易想到的。设F[I,0/1]为走了I步时，状态为上升/下降的最小体力花费，枚举起点，O(N^2)。

博主一开始也是这么想的，但是想让它再快一点，就再加了一维表示变化次数。其实完全没有用，反而导致自己只有30分。

对于100分，有水法也有N log N法

水法：哈哈只要从高度最低或者高度最高的走一遍就可以了【不知道为什么能过】

水法2：当状态转移到快超时的时候直接输出当前答案【卡时！】【数据较水导致答案出现在前方】

水法3：随机起点【随机次数稍微多一点，在保证不超时不重复枚举的情况下，还是有可能过得】

N log N法：F[i，j] 表示 i 到 i+2^j 的最小代价，F[i , j] + F[i + 2^j , j] = F[i , j + 1] 对于杂项我们可以用倍增的思想解决，总复杂度O(N log N)

T3：保镖排队

题目大意：给出一棵树，以及相同父亲的儿子节点的顺序。现要求给所有节点排出一个序列，要求：1、父亲出现在儿子的前面；2、儿子节点的相对顺序不能变

如       1                             1的儿子是2 3 4 ，顺序为2 3 4

  2      3     4                       2的儿子是5 6 ，顺序为5 6

5  6

  1 2 3 4 5 6 / 1 2 3 5 6 4 / ……为合法序列  

  1 2 4 3 5 6 / 1 2 3 4 6 5 / 1 5 6 2 3 4 /……为不合法序列

求 合法序列方案数。

这是个较明显的树形DP，根据左儿子右兄弟多叉转二叉之后，规定排名先的兄弟在上面【深度较浅】，这样一来，对于节点X，他必须出现在他的儿子节点和兄弟节点之前，也就是L[X] 和 R[X]之前。

对于节点X，左儿子和右儿子的方案是互相没有影响的。F[X] = F[U] * F[V] （u为左儿子，v为右儿子，F为方案数）

设左儿子共有N个点，右儿子共有M个点，合并之后是一个N*M的序列，有C(N , N + M)种方案。

所以 F[X] = F[U] * F[V] * C(SUM[U] , SUM[U] + SUM[V]);

F[1]即为答案。

T4 教主的别墅

题目：　教主一共雇佣了N个LHXee，这些LHXee有男有女。
　　教主的大别墅一共有M个房间，现在所有的LHXee在教主面前排成了一排。教主要把N个LHXee分成恰好M个部分，每个部分在队列中都是连续的一段，然后分别去打扫M个房间。
　　教主身为全世界知识最渊博的人，他当然知道男女搭配干活不累的道理，以及狼多羊少，羊多狼少的危害之大。所以教主希望一个分配方式，使得所有小组男女个数差的最大值最小。
　　教主还希望你输出从左到右，每个组的人数。
　　如果有多种人数组合都能达到最优值，教主希望你分别告诉他这些方案中字典序最小和最大的方案。换句话说，你需要找到两种方案，这两种方案满足所有组男女个数差最大值最小的前提下，第一种方案（字典序最小）要越靠前的组人数越少，也就是让第一个小组人尽量少，并且在第一个小组人尽量少的前提下，让第二个小组的人尽量少，依此类推；第二种方案（字典序最大）则要让越靠前的组人数越多。

数据范围：　

      对于40%的数据，有N ≤ 100；
　　对于50%的数据，有N ≤ 1000；
　　对于65%的数据，有N ≤ 100000；
　　对于100%的数据，有N ≤ 5000000，M ≤ N且M ≤ 100000。

如果不要求找出方案，只要求求出最优值，这一题就相对简单一些。

设男为1 ， 女为-1 ， 计算前缀和。

ans = s[n] / m （向上取整）。 即 ans = （s[n] - 1）/ m + 1；【s[n] 取绝对值】

对于总和为s[n]的序列，一定可以分成M段，使得每一段的差值都不超过ans。

暴力枚举每一段的长度，假设当前要分成K段，这种长度能成为一种方案的前提是 这一段的差值不超过ans；剩下的数分成K - 1段的差值最大值也不超过ans     

即 abs(s[end] - s[start - 1]) <= ans , (abs(s[n] - s[end]) - 1) / (k - 1) + 1<= ans;

这样就可以求出一个方案，字典序最小就从1开始扫能分就分，最大就从N开始扫能分就分。注意s[n] = 0需要特判。

今天的题目难度还是不算大的，比赛时我想出了一三题，在打第一题的时候花了将近1h，主要就是二分不熟悉。

感觉今天的水平发挥出来了，没有什么遗憾，只能说水平还不够，还需要继续加强。

多打，多练，指不定比赛的时候题目都见过。哈哈。