Prim算法

参考维基百科与《算法导论》

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

 

内容

Prim算法也是通用最小生成树的一个特例。Prim算法的工作原理与Dijkstra的最短路径算法相似。Prim算法具有的一个性质是集合A中的边总是构成一棵树。这个树从一 个任意的根结点r开始，一直长大到覆盖V中的所有结点是为止。算法每一步在连接集合A和A之外的结点的所有边中，选择一条轻量级边加入到A中。而加入的边都是对A安全的边，因此，当算法终止时，A中的边形成一棵最小生成树。本策略也属于贪心策略，因为每一步所加入的边必须是使树的总权重增加量最小的边。

 

实现

为了有效地实现Prim算法，需要一种快速的方法来选择一条新的边，以便加入到由集合A中的边所构成的树里。使用最小优先队列，在算法执行过程中，所有不在树A中的结点多存放在一个基于key属性的最小优先队列Q中。对于每个结点v，属性v.key保存的是连接v和树中结点的所有边中最小边的权重。

代码实现

//=============================================================// Prim算法实现//=============================================================#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAXN 100#define INFINITY 0xff#define VERTEXS 9int G[VERTEXS][VERTEXS] = { //a, b, c, d, e, f, g, h, i INFINITY, 4, INFINITY, INFINITY, INFINITY, INFINITY, INFINITY, 8, INFINITY, // a 4, INFINITY, INFINITY, INFINITY, INFINITY, INFINITY, INFINITY, 11, INFINITY, // b INFINITY, 8, INFINITY, 7, INFINITY, 4, INFINITY, INFINITY, 2, // c INFINITY, INFINITY, 7, INFINITY, 9, 14, INFINITY, INFINITY, INFINITY, // d INFINITY, INFINITY, INFINITY, 9, INFINITY, 10, INFINITY, INFINITY, INFINITY, // e INFINITY, INFINITY, 4, 14, 10, INFINITY, 2, INFINITY, INFINITY, // f INFINITY, INFINITY, INFINITY, INFINITY, INFINITY, 2, INFINITY, 1, 6, // g 8, 11, INFINITY, INFINITY, INFINITY, INFINITY, 1, INFINITY, 7, // h INFINITY, INFINITY, 3, INFINITY, INFINITY, INFINITY, 6, 7, INFINITY // i};int dis[VERTEXS] = {0}; // 记录源点到目的点的距离bool visited[VERTEXS] = {false};int prev[VERTEXS] = {0};//=============================================================// 获取Q中最小元素//=============================================================int ExtractMin(int *Q, int n){int min = INFINITY;int index = -1;for (int i = 0; i < n; i++) {if (!visited[i] && Q[i] < min) {min = Q[i];index = i;  // 获取最小元素的小标}}if (index > -1)visited[index] = true;return index;}//=============================================================// 判断Q是否为空//=============================================================bool IsEmpty(int *Q, int n){for (int i = 0; i < n; i++) {if (!visited[i])return false;}return true;}//=============================================================// 判断x是否在Q中//=============================================================bool IsExist(int *Q, int n, int x){return !visited[x];}//=============================================================// 更新dis值//=============================================================void DecreaseWeight(int u, int v, int w){if (IsExist(dis, VERTEXS, v) && w < dis[v]) {dis[v] = w;prev[v] = u;}}//=============================================================// Prim算法实现//=============================================================void MSTPrim(int s){for (int i = 0; i < VERTEXS; i++) { // 初始化dis[i] = INFINITY;visited[i] = false;prev[i] = 0;}dis[s] = 0; // 源点while (!IsEmpty(dis, VERTEXS)) {int u = ExtractMin(dis, VERTEXS); // 获取离树权重最小的点for (int v = 0; v < VERTEXS; v++) {if (G[u][v] < INFINITY) { // 边存在DecreaseWeight(u, v, G[u][v]);}}}}int main(){MSTPrim(3);int min = 0;for (int i = 0; i < VERTEXS; i++) {min += dis[i];}printf("min = %d\n", min);system("pause");return 0;}