最大流相关概念及算法

声明：    今天刚学最大流，看到网上有好多资料，这里整合几篇比较好的，便于入门。

              本片博客上篇概念部分转自： http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/21026445       

                            下片算法部分转自：  http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2011/07/26/2117636.html

首先是网络流中的一些定义：

V表示整个图中的所有结点的集合.
E表示整个图中所有边的集合.
G = (V,E) ,表示整个图.
s表示网络的源点,t表示网络的汇点.
对于每条边(u,v),有一个容量c(u,v)   (c(u,v)>=0)，如果c(u,v)=0，则表示(u,v)不存在在网络中。相反，如果原网络中不存在边(u,v)，则令c(u,v)=0.
对于每条边(u,v),有一个流量f(u,v).

一个简单的例子.网络可以被想象成一些输水的管道.括号内右边的数字表示管道的容量c,左边的数字表示这条管道的当前流量f.

网络流的三个性质：

1、容量限制:  f[u,v]<=c[u,v]
2、反对称性：f[u,v] = - f[v,u]
3、流量平衡:  对于不是源点也不是汇点的任意结点,流入该结点的流量和等于流出该结点的流量和。
只要满足这三个性质,就是一个合法的网络流.

最大流问题，就是求在满足网络流性质的情况下，源点 s 到汇点 t 的最大流量。

求一个网络流的最大流有很多算法 这里首先介绍 增广路算法（EK）

学习算法之前首先看了解这个算法中涉及到的几个图中的定义：

**残量网络

为了更方便算法的实现，一般根据原网络定义一个残量网络。其中r(u,v)为残量网络的容量。
r(u,v) = c(u,v) – f(u,v)
通俗地讲：就是对于某一条边（也称弧），还能再有多少流量经过。
Gf 残量网络,Ef 表示残量网络的边集.

这是上面图的一个残量网络。残量网络（如果网络中一条边的容量为0,则认为这条边不在残量网络中。

r(s,v1)=0,所以就不画出来了。另外举个例子：r(v1,s) = c(v1,s) – f(v1,s) = 0 – (-f(s,v1)) = f(s,v1) = 4.

其中像(v1,s)这样的边称为后向弧,它表示从v1到s还可以增加4单位的流量。

但是从v1到s不是和原网络中的弧的方向相反吗？显然“从v1到s还可以增加4单位流量”这条信息毫无意义。那么，有必要建立这些后向弧吗？

显然，第1个图中的画出来的不是一个最大流。

但是，如果我们把s -> v2 -> v1 -> t这条路径经过的弧的流量都增加2,就得到了该网络的最大流。

注意到这条路径经过了一条后向弧:(v2,v1)。

如果不设立后向弧，算法就不能发现这条路径。

**从本质上说，后向弧为算法纠正自己所犯的错误提供了可能性，它允许算法取消先前的错误的行为（让2单位的流从v1流到v2)

注意,后向弧只是概念上的,在程序中后向弧与前向弧并无区别.

**增广路

增广路定义：在残量网络中的一条从s通往t的路径，其中任意一条弧(u,v)，都有r[u,v]>0。

如图绿色的即为一条增广路。

看了这么多概念相信大家对增广路算法已经有大概的思路了吧。

**增广路算法

增广路算法：每次用BFS找一条最短的增广路径，然后沿着这条路径修改流量值（实际修改的是残量网络的边权）。当没有增广路时，算法停止，此时的流就是最大流。

**增广路算法的效率

设n = |V|,  m = |E|

每次增广都是一次BFS,效率为O(m),而在最坏的情况下需要（n-2增广。（即除源点和汇点外其他点都没有连通，所有点都只和s与t连通）

所以,总共的时间复杂度为O(m*n)，所以在稀疏图中效率还是比较高的。

—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————            以下部分转自Kuangbin：点击打开连接

          （谢谢Kuangbin大神的分享，建议：不要看着模板学习，最好能根据自己的理解敲出来，即使敲不出来，再看模板，这样收获才更大）

Ford-Fulkerson方法

  介绍完上面的概念之后，便可以用Ford-Fulkerson方法求最大流了。为什么叫Ford-Fulkerson方法而不是算法，原因在于可以用多种方式实现这一方法，方式并不唯一。下面介绍一种基于广度优先搜索(BFS)来计算增广路径P的算法：Edmonds-Karp算法。

  算法流程如下：

  设队列Q：存储当前未访问的节点，队首节点出队后，成为已检查的标点；

  Path数组：存储当前已访问过的节点的增广路径；

  Flow数组：存储一次BFS遍历之后流的可改进量；

  Repeat:

    Path清空；

    源点S进入Path和Q，Path[S]<-0，Flow[S]<-+∞；

    While Q非空 and 汇点T未访问 do

        Begin

            队首顶点u出对；

            For每一条从u出发的弧(u,v) do

                If v未访问 and 弧(u,v) 的流量可改进；

                Then Flow[v]<-min(Flow[u],c[u][v]) and v入队 and Path[v]<-u；

    End while

   

    If(汇点T已访问)

    Then 从汇点T沿着Path构造残余网络；

  Until 汇点T未被访问

 

应用实例

  这是一道最大流的入门题，题目如下：

  http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1273

Description

  Every time it rains on Farmer John's fields, a pond forms over Bessie's favorite clover patch. This means that the clover is covered by water for awhile and takes quite a long time to regrow. Thus, Farmer John has built a set of drainage ditches so that Bessie's clover patch is never covered in water. Instead, the water is drained to a nearby stream. Being an ace engineer, Farmer John has also installed regulators at the beginning of each ditch, so he can control at what rate water flows into that ditch.
Farmer John knows not only how many gallons of water each ditch can transport per minute but also the exact layout of the ditches, which feed out of the pond and into each other and stream in a potentially complex network.
Given all this information, determine the maximum rate at which water can be transported out of the pond and into the stream. For any given ditch, water flows in only one direction, but there might be a way that water can flow in a circle.

Input

  The input includes several cases. For each case, the first line contains two space-separated integers, N (0 <= N <= 200) and M (2 <= M <= 200). N is the number of ditches that Farmer John has dug. M is the number of intersections points for those ditches. Intersection 1 is the pond. Intersection point M is the stream. Each of the following N lines contains three integers, Si, Ei, and Ci. Si and Ei (1 <= Si, Ei <= M) designate the intersections between which this ditch flows. Water will flow through this ditch from Si to Ei. Ci (0 <= Ci <= 10,000,000) is the maximum rate at which water will flow through the ditch.

Output

  For each case, output a single integer, the maximum rate at which water may emptied from the pond.

Sample Input

5 4

1 2 40

1 4 20

2 4 20

2 3 30

3 4 10

Sample Output

50

 1 #include <iostream>
 2 #include <queue>
 3 using namespace std;
 4 
 5 const int N = 210;
 6 const int INF = 0x7FFFFFFF;
 7 int n,m,map[N][N],path[N],flow[N],start,end;
 8 queue<int> q;
 9 
10 int bfs(){
11     int i,t;
12     while(!q.empty()) q.pop();
13     memset(path,-1,sizeof(path));
14     path[start]=0,flow[start]=INF;
15     q.push(start);
16     while(!q.empty()){
17         t=q.front();
18         q.pop();
19         if(t==end) break;
20         for(i=1;i<=m;i++){
21             if(i!=start && path[i]==-1 && map[t][i]){
22                 flow[i]=flow[t]<map[t][i]?flow[t]:map[t][i];
23                 q.push(i);
24                 path[i]=t;
25             }
26         }
27     }
28     if(path[end]==-1) return -1;
29     return flow[m];                   //一次遍历之后的流量增量
30 }
31 int Edmonds_Karp(){
32     int max_flow=0,step,now,pre;
33     while((step=bfs())!=-1){          //找不到增路径时退出
34         max_flow+=step;
35         now=end;
36         while(now!=start){
37             pre=path[now];
38             map[pre][now]-=step;      //更新正向边的实际容量
39             map[now][pre]+=step;      //添加反向边
40             now=pre;
41         }
42     }
43     return max_flow;
44 }
45 int main(){
46     int i,u,v,cost;
47     while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF){
48         memset(map,0,sizeof(map));
49         for(i=0;i<n;i++){
50             scanf("%d %d %d",&u,&v,&cost);
51             map[u][v]+=cost;           //not just only one input
52         }
53         start=1,end=m;
54         printf("%d\n",Edmonds_Karp());
55     }
56     return 0;
57 }
58