矩阵快速幂

一．简介

矩阵的快速幂是用来高效地计算矩阵的高次方的。将朴素的o（n）的时间复杂度，降到log（n）

一般一个矩阵的n次方，我们会通过连乘n-1次来得到它的n次幂。

但做下简单的改进就能减少连乘的次数，方法如下：

把n个矩阵进行两两分组，比如：A*A*A*A*A*A =>(A*A)*(A*A)*(A*A)

这样变的好处是，你只需要计算一次A*A，然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。

那么才能怎么迅速地求得矩阵的N次幂？

这里利用二分的思想

大家首先要认识到一点：任何一个整数N，都能用二进制来表示

二．样例

比如A^19 => （A^16）*（A^2）*（A^1）

显然采取这样的方式计算时因子数将是log(n)级别的(原来的因子数是n)，不仅这样，因子间也是存在某种联系的，比如A^4能通过(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通过(A^4)*(A^4)得到，这点也充分利用了现有的结果作为有利条件。下面举个例子进行说明：

现在要求A^156, 而156(10)=10011100(2)

也就有A^156=>(A^4)*(A^8)*(A^16)*(A^128)考虑到因子间的联系，我们从二进制10011100中的最右端开始计算到最左端。

下面给核心代码：

while(N) {                if(N&1)   res=res*A;                N = N/2;                A=A*A; }

注：里面的乘号，是矩阵乘的运算，res是结果矩阵。

第3行代码每进行一次，二进制数就少了最后面的一个1。二进制数有多少个1就第3行代码就执行多少次。

现在我就说下我对二进制的感想吧：

我们在做很多”连续“的问题的时候都会用到二进制将他们离散简化

1.多重背包问题

2.树状数组

3.状态压缩DP

……………还有很多。。。究其根本还是那句话：化连续为离散。。很多时候我们并不是为了解决一个问题而使用二进制，更多是时候是为了优化而使用它。所以如果你想让你的程序更加能适应大数据的情况，那么学习学习二进制及其算法思想将会对你有很大帮助。

感想：矩阵快速幂是个好东东啊 ~~