Tarjan算法---强联通分量

1、基础知识   

      在有向图G，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。  下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

      Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。栈中节点只有在其所属的强连通分量已经全部求出时，才会出栈。如果发现某节点u有边连到搜索树中栈里的节点v，则更新u的low 值为dfn[v](更新为low[v]也可以）。如果一个节点u已经DFS访问结束，而且此时其low值等于dfn值，则说明u可达的所有节点，都不能到达任何在u之前被DFS访问的节点 那么该节点u就是一个强连通分量在DFS搜索树中的根。此时将栈中所有节点弹出，包括u,就找到了一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。

Low(u)=MIN{ DFN(u),  Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点，DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边) }

当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
2、参考代码

/* Tarjan算法:求一个有向图G=(V,E)里极大强连通分量。  强连通分量是指有向图G里顶点间能互相到达的子图。  如果一个强连通分量已经没有被其它强通分量完全包含，那这个强连通分量就是极大强连通分量*//*low[v]=dfn[v]时，栈里v以及v以上的顶点全部出栈，一个极大强连通分量*/#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define MAXL 50#define MIN(x,y) ((x) < (y) ? (x) : (y))//结点定义typedef struct edge_node{    int key;struct edge_node *next;}ENode;typedef struct{char vertex;ENode *firstedge;}VNode;typedef VNode VList[MAXL];typedef struct{VList vlist;int n,e;}ALGraph;int instack[MAXL];  //用于标记是否在栈中int vis[MAXL];int dfn[MAXL],low[MAXL];int depth;int ind[MAXL]={0};int top;int stack[MAXL];   //【【【要用到】】】int num_scc;int count_SCCele;int scc[MAXL];ALGraph *ALG=(ALGraph *)malloc(sizeof(ALGraph));//邻接表生成[有向图]void creat_ALGraph(ALGraph *ALG){int i,j,k;char ch1,ch2;ENode *ep;scanf("%d,%d",&ALG->n,&ALG->e);for(i=0;i<ALG->n;i++) //顶点表{getchar();scanf("%c",&ALG->vlist[i].vertex);ALG->vlist[i].firstedge=NULL;}for(k=0;k<ALG->e;k++)  //边表{getchar();scanf("%c,%c",&ch1,&ch2);for(i=0;ALG->vlist[i].vertex!=ch1;i++);for(j=0;ALG->vlist[j].vertex!=ch2;j++);ep=(ENode*)malloc(sizeof(ENode));ep->key=j;ep->next=ALG->vlist[i].firstedge;ALG->vlist[i].firstedge=ep;}}//邻接表输出void print_ALGraph(ALGraph *ALG){int i;ENode *ptr=(ENode*)malloc(sizeof(ENode));for(i=0;i<ALG->n;i++){printf("%c",ALG->vlist[i].vertex);ptr=ALG->vlist[i].firstedge;while(ptr!=NULL)  //不能用!ptr{printf("->%c",ALG->vlist[ptr->key].vertex);ptr=ptr->next;}printf("\n");}}//计算初始化用于dfnlow()和bicon()void init_Tarjan(void){depth=0;for(int i=0;i<ALG->n;i++){instack[i]=0;dfn[i]=low[i]=-1;vis[i]=0;}top=0;  //栈初始化for(int j=0;j<ALG->n;j++)stack[j]=-1;num_scc=0;}void init_scc(void)  //scc块初始化{count_SCCele=0;for(int i=0;i<ALG->n;i++)scc[i]=-1;}void SCC_Tarjan(int u){int son;ENode *ptr=(ENode *)malloc(sizeof(ENode));dfn[u]=low[u]=depth++;  //访问+访问标记+入栈+入栈标记+遍历instack[u]=1;vis[u]=1;stack[top++]=u;ptr=ALG->vlist[u].firstedge;while(ptr!=NULL){son=ptr->key;if(!vis[son]){SCC_Tarjan(son);low[u]=MIN(low[u],low[son]);}else if(instack[son])  //在栈中{low[u]=MIN(low[u],dfn[son]);}ptr=ptr->next;}if(dfn[u] == low[u])   //若此，以u为根的强连通分量{num_scc++;init_scc();do{top--;scc[count_SCCele++]=stack[top];instack[stack[top]]=0;}while(stack[top] != u);for(int cn=0;cn<count_SCCele;cn++)printf("%c ",ALG->vlist[scc[cn]].vertex);printf("\n");}}int main(void){creat_ALGraph(ALG);print_ALGraph(ALG);init_Tarjan();for(int i=0;i<ALG->n;i++)   //***可以处理不连通的图，如果连通只需要一次即可,即给定一个root,直接bridge_Tarjan(root,-1)***if(!vis[i])SCC_Tarjan(i);//    SCC_Tarjan(2);  //root可以自定义printf("%d\n",num_scc);printf("%s %s %s\n","ver","dfn","low");for(int l=0;l<ALG->n;l++)printf("%c: %3d %3d\n",ALG->vlist[l].vertex,dfn[l],low[l]);return 0;}