网络流-最大流问题 ISAP 算法解释
来源:互联网 发布:java中求成绩的最大值 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 07:33
ISAP 是图论求最大流的算法之一,它很好的平衡了运行时间和程序复杂度之间的关系,因此非常常用。
约定
我们使用邻接表来表示图,表示方法可以见文章带权最短路 Dijkstra, SPFA, Bellman-Ford, ASP, Floyd-Warshall 算法分析或二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法的开头(就不重复贴代码了)。在下文中,图的源点(source)表示为
引入
求解最大流问题的一个比较容易想到的方法就是,每次在残量网络(residual network)中任意寻找一条从
人们发现,如果每次都沿着残量网络中的最短增广路增广,则运行时间可以减为
顺便说一句,上面讨论的所有算法根本上都属于增广路方法(Ford-Fulkerson method)。和它对应的就是大名鼎鼎的预流推进方法(Preflow-push method)。其中最高标号预流推进算法(Highest-label preflow-push algorithm)的复杂度可以达到
算法解释
概括地说,ISAP 算法就是不停地找最短增广路,找到之后增广;如果遇到死路就 retreat,直到发现
原图存在两种子图,一个是残量网络,一个是允许弧组成的图。残量网络保证可增广,允许弧保证最短路(时间界较优)。所以,在寻找增广路的过程中,一直是在残量网络中沿着允许弧寻找。因此,允许弧应该是属于残量网络的,而非原图的。换句话说,我们沿着允许弧,走的是残量网络(而非原图)中的最短路径。当我们找到沿着残量网络找到一条增广路,增广后,残量网络肯定会变化(至少少了一条边),因此决定允许弧的
说到这里,大家应该都猜到了,retreat 操作的主要任务就是更新
讲到这里,ISAP 算法的框架内容就讲完了。对于代码本身,还有几个优化和实现的技巧需要说明。
- 算法执行之前需要用 BFS 初始化
d 数组,方法是从t 到s 逆向进行。 - 算法主体需要维护一个「当前节点」
u ,执行这个节点的前进、retreat 等操作。 - 记录路径的方法非常简单,声明一个数组
p ,令p[i] 等于增广路上到达节点i 的边的序号(这样就可以找到从哪个顶点到的顶点i )。需要路径的时候反向追踪一下就可以了。 - 判断残量网络中
s, t 不连通的条件,就是d[s]≥∣V∣ 。这是因为当s, t 不连通时,最终残量网络中s 将没有任何邻接点,对s 的 retreat 将导致上面条件的成立。 - GAP 优化。GAP 优化可以提前结束程序,很多时候提速非常明显(高达 100 倍以上)。GAP 优化是说,进入 retreat 环节后,
u, t 之间的连通性消失,但如果u 是最后一个和t 距离d[u] (更新前)的点,说明此时s, t 也不连通了。这是因为,虽然u, t 已经不连通,但毕竟我们走的是最短路,其他点此时到t 的距离一定大于d[u] (更新前),因此其他点要到t ,必然要经过一个和t 距离为d[u] (更新前)的点。GAP 优化的实现非常简单,用一个数组记录并在适当的时候判断、跳出循环就可以了。 - 另一个优化,就是用一个数组保存一个点已经尝试过了哪个邻接边。寻找增广的过程实际上类似于一个 BFS 过程,因此之前处理过的邻接边是不需要重新处理的(残量网络中的边只会越来越少)。具体实现方法直接看代码就可以,非常容易理解。需要注意的一点是,下次应该从上次处理到的邻接边继续处理,而非从上次处理到的邻接边的下一条开始。
最后说一下增广过程。增广过程非常简单,寻找增广路成功(当前节点处理到
int source; // 源点int sink; // 汇点int p[max_nodes]; // 可增广路上的上一条弧的编号int num[max_nodes]; // 和 t 的最短距离等于 i 的节点数量int cur[max_nodes]; // 当前弧下标int d[max_nodes]; // 残量网络中节点 i 到汇点 t 的最短距离bool visited[max_nodes];// 预处理, 反向 BFS 构造 d 数组bool bfs(){ memset(visited, 0, sizeof(visited)); queue<int> Q; Q.push(sink); visited[sink] = 1; d[sink] = 0; while (!Q.empty()) { int u = Q.front(); Q.pop(); for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end(); ++ix) { Edge &e = edges[(*ix)^1]; if (!visited[e.from] && e.capacity > e.flow) { visited[e.from] = true; d[e.from] = d[u] + 1; Q.push(e.from); } } } return visited[source];}// 增广int augment(){ int u = sink, df = __inf; // 从汇点到源点通过 p 追踪增广路径, df 为一路上最小的残量 while (u != source) { Edge &e = edges[p[u]]; df = min(df, e.capacity - e.flow); u = edges[p[u]].from; } u = sink; // 从汇点到源点更新流量 while (u != source) { edges[p[u]].flow += df; edges[p[u]^1].flow -= df; u = edges[p[u]].from; } return df;}int max_flow(){ int flow = 0; bfs(); memset(num, 0, sizeof(num)); for (int i = 0; i < num_nodes; i++) num[d[i]]++; int u = source; memset(cur, 0, sizeof(cur)); while (d[source] < num_nodes) { if (u == sink) { flow += augment(); u = source; } bool advanced = false; for (int i = cur[u]; i < G[u].size(); i++) { Edge& e = edges[G[u][i]]; if (e.capacity > e.flow && d[u] == d[e.to] + 1) { advanced = true; p[e.to] = G[u][i]; cur[u] = i; u = e.to; break; } } if (!advanced) { // retreat int m = num_nodes - 1; for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end(); ++ix) if (edges[*ix].capacity > edges[*ix].flow) m = min(m, d[edges[*ix].to]); if (--num[d[u]] == 0) break; // gap 优化 num[d[u] = m+1]++; cur[u] = 0; if (u != source) u = edges[p[u]].from; } } return flow;}
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- 网络流-最大流问题 ISAP 算法解释(转自Renfei Song's Blog)
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