BZOJ 1004 Cards

1004: [HNOI2008]Cards

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Description

小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决定交给你,答案可能很大,只要求出答案除以P的余数(P为质数).

Input

第一行输入 5 个整数：Sr,Sb,Sg,m,p(m<=60,m+1<p<100)。n=Sr+Sb+Sg。接下来 m 行，每行描述
一种洗牌法，每行有 n 个用空格隔开的整数 X1X2...Xn，恰为 1 到 n 的一个排列，表示使用这种洗牌法，
第 i位变为原来的 Xi位的牌。输入数据保证任意多次洗牌都可用这 m种洗牌法中的一种代替，且对每种
洗牌法，都存在一种洗牌法使得能回到原状态。

100%数据满足 Max{Sr,Sb,Sg}<=20。

Output

不同染法除以P的余数

Sample Input

1 1 1 2 7
2 3 1
3 1 2

Sample Output

2

HINT

有2 种本质上不同的染色法RGB 和RBG，使用洗牌法231 一次可得GBR 和BGR，使用洗牌法312 一次 可得BRG 和GRB。

【题解】这道题，我是看了题解的。这里写一下我的理解。

       首先，我们需要掌握一些基本的知识——Burnside、Pólya（可以参考08年陈瑜希的论文）。然后我们手上就有两个公式：
Burnside:  和 Pólya:。我们发现第二个公式不适合这道题，因为3种的使用数量是有限的。所以就要从第一个公式下手。D(a[j])是指置换a[j],即a[j]这种洗牌法，在洗牌前后同一种涂色法的涂色效果是一样的，即涂了这种顺序的颜色后，用a[j]洗牌法，结果还是这种顺序。

       然后，问题就是如何想办法求出sigma D[j],。在Pólya 中我们计算过置换环，一种置换环里的颜色是会被置换的，所以要符合D()的要求，就要满足这个置换环里的颜色涂同一种（可以自己想想）。随后就好做了，我们开一个数组f [ a ][ b ][ c ],表示红色用了a,蓝色用了b,绿色用了c,转移方程为(s[i],一个置换环里的个数)：

f[ a ][ b ][ c ]=f[ a-s[i] ][ b ][ c ]+f[ a ][ b-s[i] ][ c ]+f[ a ][ b ][ c-s[i] ];

把每一种洗牌法的 f[a][b][c]累加起来（不要忘了不用洗牌法的情况），就是答案了，至于除m,用逆元。

代码：

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#define maxn 100int sr,sb,sg,m,p,ans=0,n,twice[maxn],s[maxn],f[21][21][21],a[maxn];inline int work(){memset(f,0,sizeof(f));memset(twice,0,sizeof(twice));memset(s,0,sizeof(s));int num=0;for(int i=1;i<=n;i++)if(!twice[i]){++num;for(int j=i;!twice[j];j=a[j])twice[j]=1,s[num]++;}f[0][0][0]=1;for(int i=1;i<=num;i++)for(int a=sr;a+1;a--)for(int b=sb;b+1;b--)for(int c=sg;c+1;c--){if(s[i]<=a)f[a][b][c]=(f[a][b][c]+f[a-s[i]][b][c])%p;if(s[i]<=b)f[a][b][c]=(f[a][b][c]+f[a][b-s[i]][c])%p;if(s[i]<=c)f[a][b][c]=(f[a][b][c]+f[a][b][c-s[i]])%p;}return f[sr][sb][sg];}inline int fast(int x,int y){if(!(y+1))return 1;int ret=1;for(int apple=x;y;y>>=1,apple=(apple*apple)%p)if(y&1)ret=(ret*apple)%p;//printf("%d\n",ret);return ret;}int main(){scanf("%d%d%d%d%d",&sr,&sb,&sg,&m,&p);n=sr+sb+sg;for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&a[j]);ans=(ans+work())%p;}for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=i;ans=(ans+work())%p;//printf("%d\n",ans);ans=(ans*fast(m+1,p-2))%p;printf("%d\n",ans);return 0;}