UVA 10280 - Old Wine Into New Bottles

题目总结~~>

做题感悟：这题类似以前做过的一题，那一题的体积也很大，开数组开不下，物品只有三件，先贪心一下，然后完全背包，这题因为物品很多不能那样。

解题思路：转自~~>

      先把剪枝放在这里，设limit=min{max*min/(max-min)}，那么如果酒量是大于limit的，就必然能够全部装下，否则我们再执行dp。
     下面我们开始证明这个剪枝的正确性。我们不妨先对一类瓶子进行讨论，设其最小、最大的装酒量分别是min、max，实际上如果有[x/max]<[x/min]，那么酒量x就一定可以全部被装进去，因为满足min*[x/min]<=x<=max*[x/min]，必然可以找到一点x’使得x’*[x/min]==x，其中方括号都是向下取整运算。我们不妨设x/max的小数部分是e1，x/min的小数部分是e2，如果有[x/max]<[x/min]，即为x/max-e1<x/min-e2，整理得x/max-x/min<e1-e2，同时由于-1<e1-e2，所以如果x/max-x/min<=-1，那么原不等式必然成立，进一步化简就可以得到x>=max*min/(max-min)。
     其实，看了别人的一篇博客后，发现可以用更简单的方式去证，同时还能使剪枝更强。同样，先把剪枝放在这里，limit=min{min*min/(max-min)}。
     对于一类瓶子，我们不妨设用k个瓶子去装酒，那么能够完全装下的范围就是[k*min,k*max]，随着k的增大，我们发现所有相邻区间的左端点的间距是固定的，同时区间的长度又在不断增加，于是我们猜想，到某一刻时，后面的区间相互之间会有交集，这样剩下的各个区间就会覆盖掉后面所有的整数。我们设刚开始产生交集的区间为第k个，这样有k*max>=(k+1)*min，解得k>=min/(max-min)，而当酒量x>=k*min的时候，就一定能全被装进去，这样就有x>=min*min/(max-min)。
     最后说一说dp的过程吧，有了上面的剪枝，我们最起码能把总酒量的状态减到4500*4500，大约是2*10^7，剩下的工作就是把瓶子按不同的容积拆成max-min+1个瓶子，然后做完全背包的dp。这样我们不妨想一下，最后瓶子数乘上酒量的状态数会不会超呢？实际上由于min<=0.99max，所以即使容量是4500也实际只有不到450000个状态，远小于2*10^7，当然最大是否有可能超过450000而且最大是多少还要根据剪枝的函数来确切算一下，而且我们dp前是可以把体积重复的瓶子去掉的，由于判重的剪枝瓶子数最后能不能到比较大的水平也是个问题，所以整体的复杂度受多方因素的制约。
     就剪枝min*min/(max-min)来讲，由于min*min/(max-min)<=min*min/(min/0.99-min)<450000，所以最多不会超过450000个状态。

代码：

#include<iostream>#include<fstream>#include<iomanip>#include<ctime>#include<fstream>#include<sstream>#include<stack>#include<cstring>#include<cmath>#include<map>#include<vector>#include<cstdio>#include<algorithm>#define INT __int64using namespace std ;const double esp = 0.00000001 ;const int INF = 9999999 ;const int mod = 1e9 + 7 ;const int MY = 100 + 10 ;const int MX = 450000 + 10 ;int n ,C ,LC ,num ;bool vis[4500] ;int dp[MX] ,mx[MY] ,my[MY] ,V[MX]  ;void solve(){    scanf("%d%d" ,&C ,&n) ;    C *= 1000 ;    LC = INF ;    num = 0 ;    for(int i = 1 ;i <= n ;++i)    {        scanf("%d%d" ,&mx[i] ,&my[i]) ;        if(mx[i]*mx[i] / (my[i]-mx[i]) < LC)            LC = mx[i]*mx[i] / (my[i]-mx[i]) ;    }    if(C >= LC)    {        cout<<"0"<<endl ;        return ;    }    memset(vis ,false,sizeof(vis)) ;    for(int i = 1 ;i <= n ;++i)      for(int j = mx[i] ;j <= my[i] ;++j)         if(!vis[j])         {             vis[j] = true ;             V[num++] = j ;         }     memset(dp ,0 ,sizeof(dp)) ;     dp[0] = 0 ;     for(int i = 0 ;i < num ; ++i)       for(int j = V[i] ;j <= C ; ++j)              dp[j] = max(dp[j] ,dp[j-V[i]] + V[i]) ;    cout<<C-dp[C]<<endl ;}int main(){    int Tx ;    scanf("%d" ,&Tx) ;    while(Tx--)    {        solve() ;        if(Tx)  cout<<endl ;    }    return 0 ;}