面试算法记录

1.亲和数问题：
求500万以内的所有亲和数
如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b,b的所有真因数之和等于a,则称a,b是一对亲和数。

例如220和284，1184和1210，2620和2924。

思路：

220=1+2+4+71+142=sum[284],
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=sum[220]。
得284的真因子之和sum[284]=220，且220的真因子之和sum[220]=284，即有sum[220]=sum[sum[284]]=284。

求解步骤如下：

因为所有数的真因数都包含1，所以，先在各个数的下方全部置1

1. 然后取i=2,3,4,5（i<=10/2），j依次对应的位置为j=（4、6、8、10），（6、9）,（8）,（10）各数所对应的位置。
2. 依据j所找到的位置，在j所指的各个数的下面加上各个真因子i（i=2、3、4、5）。
   整个过程，即如下图所示（如sum[6]=1+2+3=6，sum[10]=1+2+5=8.）：
   1  2  3  4  5  6  7  8  9  10
   1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
              2      2      2      2
                      3          3 
                              4
                                      5
3. 然后一次遍历i从220开始到5000000，i每遍历一个数后，
   将i对应的数下面的各个真因子加起来得到一个和sum[i]，如果这个和sum[i]==某个i’，且sum[i‘]=i，
   那么这两个数i和i’，即为一对亲和数。
4. i=2；sum[4]+=2，sum[6]+=2，sum[8]+=2，sum[10]+=2，sum[12]+=2...
   i=3，sum[6]+=3，sum[9]+=3...
   ......
5. i=220时，sum[220]=284，i=284时，sum[284]=220；即sum[220]=sum[sum[284]]=284，
   得出220与284是一对亲和数。所以，最终输出220、284，...

int sum[5000010]; //为防越界
int main()
{
int i, j;
for (i = 0; i <= 5000000; i++)
sum[i] = 1; //1 是所有数的真因数所以全部置1
for (i = 2; i + i <= 5000000; i++) //预处理，预处理是logN（调和级数）*N。
//@litaoye：调和级数1/2 + 1/3 + 1/4......的和近似为ln(n)，
//因此O(n *(1/2 + 1/3 + 1/4......)) = O(n * ln(n)) = O(N*log(N))。
{
//5000000 以下最大的真因数是不超过它的一半的
j = i + i; //因为真因数，所以不能算本身，所以从它的2 倍开始
while (j <= 5000000)
{
//将所有i 的倍数的位置上加i
sum[j] += i;
j += i;
}
}
for (i = 220; i <= 5000000; i++) //扫描，O（N）。
{
// 一次遍历，因为知道最小是220 和284 因此从220 开始
if (sum[i] > i && sum[i] <= 5000000 && sum[sum[i]] == i)
{
//去重，不越界，满足亲和
printf("%d %d/n",i,sum[i]);
}
}
return 0;
}