线性规划与网络流24题の24 骑士共存问题 （二分图最大独立集）

给一个N*N的棋盘，上面有M个障碍，问最多有多少个骑士不互相攻击（有障碍的格子上不能放骑士）。

将棋盘黑白染色，从源点向黑色格子加一条容量为1 的边，从白色格子向汇点连一条容量为1的边，从黑色格子向它可攻击的白色格子连容量为正无穷的边（黑色格子只能攻击白色格子）。然后用有效的格子总数 - 最大流就是答案。

论文：最小割模型在信息学竞赛中的应用

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//#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")#include <map>#include <set>#include <cmath>#include <queue>#include <stack>#include <cstdio>#include <string>#include <vector>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;typedef double DB;typedef long long ll;typedef pair<int, int> PII;#define pb push_back#define MP make_pair#define lson l, m, rt << 1#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1const DB eps = 1e-6;const int inf = ~0U>>1;const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;const int mod = 1000000007;const int maxn = 40000 + 10;///init是初始化要在加边之前初始化，然后调用max_flow(顶点数，边数，源点， 汇点)const int maxv = 40000 + 10;///顶点个数const int maxe = 1000000 + 10;///边数struct node{    int v, cap, next;}edge[maxe];int head[maxv], cnt;int n;///n是节点个数，m是边数int st, ed;///st是源点，ed是汇点int gap[maxv], h[maxv];void addedge(int u, int v, ll w){///有向图加边    edge[cnt].v = v; edge[cnt].cap = w; edge[cnt].next = head[u]; head[u] = cnt++;///正向边    edge[cnt].v = u; edge[cnt].cap = 0; edge[cnt].next = head[v]; head[v] = cnt++;///反向边}int dfs(int x, int cost){    if(x == ed) return cost; ///当前节点是汇点，直接返回cost    int can = cost, d, minh = n - 1;    for(int i=head[x]; ~i; i=edge[i].next){        int v = edge[i].v, w = edge[i].cap;        if(w > 0){///如果这条边的容量大于0            if(h[v] + 1 == h[x]){///如果这是允许弧                if(can > w) d = w;///如果当前弧的容量小于之前可增广的容量                else d = can;                d = dfs(v, d);///从v开始可增广的容量为d                ///更新弧的容量和可增广的容量                edge[i].cap -= d;                edge[i ^ 1].cap += d;                can -= d;                if(h[st] >= n) return cost - can;                if(!can) break;///不能再继续增广            }            if(h[v] < minh) minh = h[v];///更新最小标号        }    }    if(can == cost){///如果没有增广...GAP        gap[h[x]]--;        if(gap[h[x]] == 0) h[st] = n;///存在断层，没有增广路了        h[x] = minh + 1;///重新标记，保证下次再访问的时候有流量        gap[h[x]]++;    }    return cost - can;///在这个点之前可以增广的 - 访问这个点之后可以增广的 = 在这个点增广的容量}int max_flow(int N, int source, int sink){///SAP+GAP优化    n = N;//m = M;    st = source; ed = sink;    memset(h, 0, sizeof(h));///h[i]表示i节点的标号    memset(gap, 0, sizeof(gap));///gap[i]表示标号为i的节点个数    gap[0] = n;///初始有n个节点标号为0    int ret = 0;    while(h[st] < n){        ret += dfs(st, inf);    }    return ret;}void init(){    memset(head, -1, sizeof(head)); cnt = 0;}bool vis[maxn];void Dfs(int x){    vis[x] = true;    for(int i=head[x]; ~i; i=edge[i].next){        if(edge[i].cap > 0 && !vis[edge[i].v]) Dfs(edge[i].v);    }}int dxy[8][2] = {{2, 1}, {1, 2}, {1, -2}, {-2, 1}, {-1, -2}, {-2, -1}, {-1, 2}, {2, -1} };int N, M;bool g[222][222];void add(int x, int y){    for(int i=0; i<8; i++){        int xx = x + dxy[i][0];        int yy = y + dxy[i][1];        if(xx > 0 && xx <= N && yy > 0 && yy <= N && !g[xx][yy])            addedge((x - 1) * N + y, (xx - 1) * N + yy, inf);    }}int main(){    cin >> N >> M;    init();    memset(g, 0, sizeof(g));    int x, y, sum = N * N - M;    for(int i=1; i<=M; i++){        cin >> x >> y;        g[x][y] = 1;    }    for(int i=1; i<=N; i++)    for(int j=1; j<=N; j++){        int k = (i - 1) * N + j;        if(g[i][j]) continue;///忽略放了障碍的点        if((i + j) & 1) {add(i, j); addedge(0, k, 1);}        else addedge(k, N * N + 1, 1);    }    sum -= max_flow(N * N + 2 - M, 0, N * N + 1);    cout << sum << endl;    return 0;}