HDU 1853 Cyclic Tour(二分图最优匹配:有向环覆盖)

HDU 1853 Cyclic Tour(二分图最优匹配:有向环覆盖)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1853

题意:

       给你一个N个点M条边的带权有向图,现在要你求这样一个值:

该有向图中的所有顶点正好被1个或多个不相交的有向环覆盖.

这个值就是 所有这些有向环的权值和. 要求该值越小越好.

分析:

       我们把任意一个顶点i都分成两个,即i和i’. 如果原图存在i->j的边,那么二分图有i->j’的边.

       下面我们要引出几条结论:

       如果原图能由多个不相交的有向环覆盖,那么二分图必然存在完备匹配.(假设原图的有向环为(1->2->3->1) and(6->5->4->6),那么二分图的完备匹配就是1->2’ 2->3’ 3->1’6->5’ 5->4’ 4->6’)

       如果二分图存在完备匹配,那么原图必定能由几个不想交的有向环覆盖.(假设二分图的完备匹配是1->2’ 2->3’ 3->1’ 6->5’ 5->4’ 4->6’那么原图的有向环为(1->2->3->1) and (6->5->4->6))

       如果原图存在权值最大的有向环覆盖,那么二分图的最优匹配一定就是这个值.(因为该有向环覆盖对应了一个二分图的完备匹配,而该完备匹配的权值就等于该有向环覆盖的权值,所以最优匹配不可能丢失该最大权值的匹配)

       现在原题要求的是最小长度匹配,我们把所有已知边的权值都取负数,且那些不存在的边我们取-INF(负无穷). 如果完备匹配存在,那么我们求出的最优匹配权值的绝对值 肯定<INF. 且该绝对值就是最小权值匹配.

       如果完备匹配不存在,那么最优匹配权值的绝对值 肯定>INF.(想想是不是) 或者这么说,如果最终求得的匹配中,有任何一个匹配边用了权值为负无穷的边,那么最优匹配不存在(即完备匹配不存在)

       注意:此题输入可能存在重边.

AC代码:

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define INF 1e9using namespace std;const int maxn=100+10;struct Max_Match{    int n,W[maxn][maxn];    int Lx[maxn],Ly[maxn];    bool S[maxn],T[maxn];    int left[maxn];    bool match(int i)    {        S[i]=true;        for(int j=1;j<=n;j++)if(Lx[i]+Ly[j]==W[i][j] && !T[j])        {            T[j]=true;            if(left[j]==-1 || match(left[j]))            {                left[j]=i;                return true;            }        }        return false;    }    void update()    {        int a=1<<30;        for(int i=1;i<=n;i++)if(S[i])        for(int j=1;j<=n;j++)if(!T[j])            a=min(a, Lx[i]+Ly[j]-W[i][j]);        for(int i=1;i<=n;i++)        {            if(S[i]) Lx[i] -=a;            if(T[i]) Ly[i] +=a;        }    }    int solve(int n)    {        this->n=n;        memset(left,-1,sizeof(left));        for(int i=1;i<=n;i++)        {            Lx[i]=Ly[i]=0;            for(int j=1;j<=n;j++) Lx[i]=max(Lx[i], W[i][j]);        }        for(int i=1;i<=n;i++)        {            while(true)            {                for(int j=1;j<=n;j++) S[j]=T[j]=false;                if(match(i)) break;                else update();            }        }        int ans=0;        for(int i=1;i<=n;i++)        {            if(W[left[i]][i]==-INF) return -1;            ans += W[left[i]][i];        }        return -ans;//注意这里返回的是负值    }}KM;int main(){    int n,m;    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)    {        for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=n;j++)            KM.W[i][j]=-INF;        while(m--)        {            int u,v,w;            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);            KM.W[u][v]=max(KM.W[u][v],-w);//可能存在重边        }        printf("%d\n",KM.solve(n));    }    return 0;}