欧几里德算法和扩展欧几里德算法

欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
 假设d是a,b的一个公约数，则有
 d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
 因此d是(b,a mod b)的公约数
 
 假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
 d | b , d |r ，但是a = kb +r 
 因此d也是(a,b)的公约数
 
 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为： 

void swap(int & a, int & b) {     int c = a;     a = b;     b = c; } int gcd(int a,int b) {     if(0 == a )     {          return b;     }     if( 0 == b)    {          return a;     }     if(a > b)    {          swap(a,b);     }     int c;     for(c = a % b ; c > 0 ; c = a % b)    {          a = b;          b = c;    }    return b; }

模P乘法逆元
对于整数a、p，如果存在整数b，满足ab mod p =1，则说，b是a的模p乘法逆元。

定理：a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1

 证明：
 首先证明充分性
 如果gcd(a,p) = 1，根据欧拉定理，a^φ(p) ≡ 1 mod p(φ(p) 表示 {0，1，...，p-1}中有多少整数与p互素)，因此
 显然a^(φ(p)-1) mod p是a的模p乘法逆元。
 
 再证明必要性
 假设存在a模p的乘法逆元为b
 ab ≡ 1 mod p
 则ab = kp +1 ，所以1 = ab - kp
 因为gcd(a,p) = d 
 所以d | 1
 所以d只能为1

 

欧几里得算法：

（1）迭代版本

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1. int ITERATIVE-GCD(int a, int b) {  
2.    int r = a % b;  
3.    while (r) {  
4.      a = b;  
5.      b = r;  
6.      r = a % b;  
7.    }  
8.    return b;  
9. }       

（2）递归版本

[cpp] view plaincopy

1. int RECURSIVE-GCD(int a, int b) {  
2.    if (b == 0) return a; else return RECURSIVE-GCD(b, a % b);  
3. }  

定理2：（由法国数学家拉梅证明）欧几里得算法所需除法次数不超过m和n中较小的那个数的十进制位数的5倍

定理3：（稍弱点）……不超过2 log(n+1)，其中n为较小的数

 

扩展欧几里德算法

　　扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得ax+by = Gcd(a, b) =d(解一定存在，根据数论中的相关定理)。

求解 x，y的方法的理解

　　设 a>b。 
　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0； 
　　2，ab!=0 时 
　　设 ax1+by1=gcd(a,b); 
　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b); 
　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b); 
　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2; 
　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2; 
　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2; 
　　这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2. 
　　上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以
　　结束。

使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法

　　对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
　　上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后， /*p * a+q * b = Gcd(a, b)的其他整数解满足：
　　p = p0 + b/Gcd(a, b) * t 
　　q = q0 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
　　至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可
　　在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是
　　得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，p * a+q * b = c的其他整数解满足：
　　p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
　　q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
　　p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。 
　　编程时 exgcd 更多用于求解“中国余数定理”相关知识 举个例子 比如n除以5余2 除以13余3 那么n最小是多少，所有的n满足什么条件？
　　n（min)=42
　　n=42+k*65

中国剩余定理:

设总数为n，模a得x，模b得y，模c得z，若已知x，y，z，让求出最小的n。

则n=(x*a1+y*b1+z*c1)%d;

其中a1=y*z中的倍数中模a等于1的最小的数；

b1=x*z中的倍数中模b等于1的最小的数；

c1=x*y中的倍数中模c等于1的最小的数；

d=a,b,c的最小公倍数。

中国剩余定理原版之韩信点兵版:

传说韩信点兵时发明的算法。设士兵总数为n，模3得x，模5得y，模7得z，若已知x，y，z，让求出最小的n。

则n=(x*70+y*21+z*15)%105;

可以用下面的小诗帮助记忆。

三人成行七十稀；70为35（5×7）的倍数中模3等于1的最小的数；

五树梅花廿一枝；21为21（3×7）的倍数中模5等于1的最小的数；

七子团圆月正半；15为15（3×5）的倍数中模7等于1的最小的数；

除百零五便得之。105为3，5，7的最小公倍数。

 

如果不是3，5，7用同样的方法求解。