最近公共祖先、区间最小值查询

第一节 RMQ、LCA概述

 

       LCA:Lowest Common Ancestor，译为最近公共祖先。其解释就是说：在有根树中，找出树中任意两个节点最近的公共祖先，或者说找到任意两个节点离树根最远的公共祖先。

 

       RMQ：Range Minimum Query，译为区间最小值查询。其解释就是说：对于含有N个元素的数列A，在数列中找到两个指定索引之间的最小值及最小值的位置。

 

第二节 RMQ Algorithm

 

       首先我们来看RQM算法，我将会根据预处理和查询的速度介绍几种解决该问题的方法。

   

    设有数组A[N]，其表示如下：

    要求求得区间(2,7)的最小元素，如下图所示：

解法一：直接遍历区间

 

       看到这个问题之后，我们最先想到的就是对区间的这些数进行一次遍历，就可以找到区间的最值，因此查询的时间为O(M)。但是，当数据量非常大并且查询很频繁时，直接遍历序列的效果就不是那么理想了。因为每查询一次就得对序列做一次遍历，对于大数据量这显然不能满足要求了。不过对于小数据量，这种算法倒是不错的选择！  

       查询：O(M)。

算法的代码如下：

[cpp] view plaincopy

1. int MaxNum = 0;  
2. for(i = 0; i < range; i++)  
3. {  
4.    /**查找最大值**/  
5.    if(array[i] > MaxNum)  
6.    {  
7.       MaxNum = array[i];  
8.    }  
9. }  

解法二：切割法

 

       解法一中查询的速度为O(M)，如果每次查询都这样的话，那真就成了龟速了。于是我们对解法一做了预处理，这就是该节要讲的：切割法。

    首先，我们将序列分成sqrt(N)个部分，用数组M[sqrt(N) ]来表示每个部分中最小的值的下标，即这个最小数的位置。对于数组M，我们只需对原序列进行一次遍历就可以得到M。如下图所示：

       接下来我们来求RMQ[2，7]。为了得到区间[2，7]的最小值，我们需比较A[2]，A[M[1]]，A[6]，以及A[7]，并得到他们中最小值的下标。

 

    分析：其实，这种方法较第一种方法而言并没有实质的改进，甚至还不如方法一。至于为什么这样做，我的解释是：我们是基于查询快慢的角度上来比较的，说白了，就是我们追求的是查询速度，所以说只要查的快了，先做一些预处理也是值得的（解法四正是基于这种思想）。现在我们根据上面的例子来看看法二，当做完预处理之后，得到了数组M，此时我们要求区间的最值，那么我们只需将在区间内，包含数组M的值以及包含两个边界的值作比较就行，这样的话，查询的次数：O(M) <= 查询次数 < O(M) + K，其中K < sqrt(N)。

 

解法三：排序

 

       解法二已经提到我们的目的是查得快，那么我们可对选择区间的这M个数据进行排序，然后就可以直接得到最小值。但是如果做排序的话，会有很大的缺陷。我们来看看。

 

       分析：我们选择快速排序，O(M * LogM)，但是快速排序会改变序列中数的相对位置，因此用快排的话，为了保证原数据的顺序不变，我们还得用O(M)的空间来维护原序列，因此这样的消耗是很大的。附注：复杂度为O(M * M)的排序算法在这就不啰嗦了！你懂得！

    查询：O(1)。

OK，我们来实现我们的想法，代码如下：

[cpp] view plaincopy

1. 快速排序  
2. int partition(int *array, int low, int high)  
3. {  
4.     int key = array[high];  
5.     int i = low;  
6.     int j = high;  
7.   
8.     while(i < j)  
9.     {  
10.         while(array[i] <= key && i < j)  
11.         {  
12.             i++;  
13.         }  
14.         array[j] = array[i];  
15.   
16.         while(array[j] >= key && i < j)  
17.         {  
18.             j--;  
19.         }  
20.         array[i] = array[j];  
21.     }  
22.     array[i] = key;  
23.       
24.     return i;  
25. }  
26.   
27. void quicksort(int *array, int low, int high)  
28. {  
29.     int index;  
30.     int i = low;  
31.     int j = high;  
32.   
33.     if(i < j)  
34.     {  
35.         index = partition(array, low, high);  
36.           
37.         quicksort(array, low, index - 1);  
38.         quicksort(array, index + 1, high);  
39.     }  
40. }  

排完序之后就可以直接得到最值了！

 

解法四：Sparse Table(ST) algorithm

 

       ST算法是一种比较高效的在线处理RMQ问题的算法，所谓在线算法，是指每输入一个查询就会马上处理这个查询。ST算法首先会对序列做预处理，完成之后就可以对查询做回答了。

 

       分析：

               预处理：O(N * LogN)。

               查询：O(1)，这样的查询正是我们想要的。

 

好了，我来详细讲述一下ST算法：

 

       预处理：首先用维护一个数组M[N][LogN]，M[i][j]的值是从原序列A的i位置开始，连续2j 个元素的最小值的下标，如下所示：

 

       那么，我们如何计算M[i][j]呢？

       我们采用DP的思想将区间分成两部分，即M[i][j - 1]和M[i][2^(j - 1)]。现在我们只需比较这两个子区间就可以得到M[i][j]了。比较规则如下：

 于是乎，就可按照此写出代码：

[cpp] view plaincopy

1. void Proprocessing(int M[N][logN], int *A, int N)  
2. {  
3.     int i, j;  
4.       
5.     for(j = 1; (1 << j) < N; j++)  
6.     {  
7.         for(i = 0; (i + (1 << j) - 1) < N; i++)  
8.         {  
9.             if(A[ M[i][j - 1] ] < A[ M[i + (1 << (j - 1))][i - 1]])  
10.             {  
11.                 M[i][j] = M[i][j - 1];  
12.             }  
13.             else  
14.             {  
15.                 M[i][j] = A[ M[i + (1 << (j - 1))][i - 1]];  
16.             }  
17.         }  
18.     }  
19. }  

解法五：线段树

 

       我们也可用线段树来解决RMQ问题，如需了解线段树，请到此一游：

       线段树：http://en.wikipedia.org/wiki/Segment_tree

 

线段树的构造口诀：

 ok，我们根据口诀，并用上面的例子构造了线段树，如下：

        那么将线段树应用到RMQ问题中，首先，维护一个有2^([logN] + 1 + 1) 元素，名为M的数组，即M[2^([logN] + 1 + 1)]，我先来解释一些数组M的意义：M[i]表示已划分节点区间的最小值的位置（下标）。

 

    知道了这些，那我们就通过代码来实现线段树的构造，并通过节点所代表的值来计算得到数组M。代码如下:

[cpp] view plaincopy

1. void init_tree(int node, int low, int high, int *array, int *M)  
2. {  
3. /***node:表示线段树中的某个节点 
4. ****low :表示低索引 
5. ****high:表示高索引 
6. ****array:表示原数组 
7. ****M：  表示维护下标的数组 
8. ***/  
9.         if(low == high) //为叶子节点  
10.         {  
11.                 M[node] = low;  
12.         }  
13.         else  
14.         {  
15.                 init_tree(2 * node, low, (low + high)/2, array, M);  
16.                 init_tree(2 * node + 1, (low + high)/2 + 1, high, array, M);  
17.   
18.                 if(array[ M[2 * node] ] <= array[ M[2 * node + 1] ]) //拿到较小值的下标  
19.                 {  
20.                         M[node] = M[2 * node];  
21.                 }  
22.                 else  
23.                 {  
24.                         M[node] = M[2 * node + 1];  
25.                 }  
26.         }  
27. }  

通过代码，可得到构造线段树的复杂度为O(N)。

 

       线段树构造成功，接下来就是查询了。我们知道，线段树查询所需的时间为O(LogN)。因为我们在前面已经了解了线段树的几种操作，所以查询在这就不赘述了，直接看代码吧！

[cpp] view plaincopy

1. int query(int node, int low, int high, int *a, int *b, int i, int j)  
2. {  
3. /***node:表示线段树中的某个节点 
4. ****low :表示低索引 
5. ****high:表示高索引 
6. ****array:表示原数组 
7. ****M：  表示维护下标的数组 
8. ****i, j:表示要查询的区间 
9. ***/  
10.     int s, t;  
11.     if(i > high || j < low)  
12.         return -1;  
13.   
14.     if(low >= i && high <= j)  
15.         return b[node]; //返回最小值的下标  
16.   
17.     s = query(2 * node, low, (low + high)/2, a, b, i, j);  
18.     t = query(2 * node + 1, (low + high)/2 + 1, high, a, b, i, j);  
19.   
20.     if(s == -1)  
21.         return b[node] = t;  
22.     if(t == -1)  
23.         return b[node] = s;  
24.   
25.     if(a[s] <= a[t])  
26.         return b[node] = s;  
27.     else  
28.         return b[node] = t;  
29. }  

第三节 LCA Algorithm

 

       LCA算法的概念我们已经知道了，那我们就来看看它的实现过程吧！

 

       对于一棵树，在这我用二叉树，如下图所示。我们要找节点8和节点9的最近公共祖先，即节点2。

 

       附注：有些朋友说这个问题可以当做两条链表是否相交的问题来解决，我们只需分别得到两个节点到根节点的路径，而这两条路径就是两条链表，问题就迎刃而解了。显然这是可行的。

 

 

战前准备：

       数组T[i]：表示树中某个节点i的父节点；

       数组L[i]：表示树中的某个节点i。

       维护数组：P[N][LogN]：其中，P[i][j]表示树中i节点的第j个祖先。

 

实现的过程如下：

 

利用二分检索判断节点p和节点q是否在树的同一层：

       如果在同一层，那么我们通过DP思想，不断地求LCA(p = P[p][j]，q = P[q][j])，一旦 p = q就停止，因为此时p和q的父节点是一样的，也就是说我们找到了最近公共祖先。

    如果不在同一层，如果p > q，也就是说p相对与q，p在树的更深层。此时，我们仍然通过DP思想来找到q与p的祖先在同一层的节点，即q = p_祖先。接下来就可按照在同一层的做法做了。

 

实现就是这么简单。

首先是预处理得到维护数组P[N][LogN]：

[cpp] view plaincopy

1. void preprocessing(int *t, int n, int p[][max])  
2. {  
3.     int i, j;  
4.   
5.     for(i = 0; i < n; i++)  
6.         p[i][0] = t[i];  
7.   
8.     for(j = 1; (1 << j) <= n; j++)  
9.     {  
10.         for(i = 0; i < n; i++)  
11.         {  
12.             if(p[i][j - 1] != -1)  
13.                 p[i][j] = p[p[i][j - 1]][j - 1];  
14.         }  
15.     }  
16. }  

接下来就是查询了，如下：

[cpp] view plaincopy

1. int query(int *t, int *l, int s, int t, int n, int p[][max])  
2. {  
3.     int tmp, lg, i;  
4.     if(l[s] < l[t])  
5.     {  
6.         tmp = s;s = t;t = tmp;  
7.     }  
8.   
9.     for(lg = 1; (1 << lg) <= l[s]; lg++);  
10.   
11.     for(i = lg; i >= 0; i--)  
12.     {  
13.         if((l[s] - (1 << i)) >= l[t])  
14.             s = p[s][i];  
15.     }  
16.   
17.     if(s == t)  
18.         return s;  
19.   
20.     for(i = lg; i >= 0; i--)  
21.     {  
22.         if(p[s][i] != -1 && p[s][i] != p[t][i])  
23.         {  
24.             s = p[s][i];  
25.             t = p[t][i];  
26.         }  
27.     }  
28.     return t[s];  
29. }  

       上面说的LCA的这种算法应该是最容易想到的，预处理过程O(NLogN)，查询O(LogN)。还有一种类似于RMQ分割法德算法，我先就不在这赘述了，以后有时间一定补上。