编程之美读书笔记-第2章数字之谜

1：给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有整数，然后数一下其中出现的所有”1“的个数

直接忽视遍历法，从该书的分析思路讲起。

分析的出规律：

<1>1位数情况

这个简单，如果N = 3，那么从1到3的所有数字：1,2,3，只有个位数出现1，而且只出现一次。可以发现，N是个位数时，N >=1,那么f（N）= 1；N = 0，f（N）= 0；

<2>2位数情况

<3>3位数情况

如N=123,：

个数出现1的个数为13=12+1；即为去掉个位之后的数字加1。

十位出现1的个数为20,20=（1+1）*10，为更高位上的数字加1再乘以当前位树（10）。

百位出现1的个数为24，24=23+1。因为此时的百位=1，所以等于去掉高位之后的数字+1。

同理分析4位数，5位数。。。。。

设N = abcde ,其中abcde分别为十进制中各位上的数字。

如果要计算百位上1出现的次数，它要受到3方面的影响：百位上的数字，百位一下（低位）上的数字，百位一上（高位）上的数字。

1）如果百位上数字为0，百位上可能出现1的次数由更高位决定。比如：12013，则可以知道百位出现1的情况可能是：100~199，1100~1199,2100~2199，，.........，11100~11199，一共1200个。可以看出是由更高位数字（12）决定，并且等于更高位数字（12）乘以 当前位数（100）。

2）如果百位上数字为1，百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响还受低位影响。比如：12113，则可以知道百位受高位影响出现的情况是：100~199，1100~1199,2100~2199，，.........，11100~11199，一共1200个。和上面情况一样，并且等于更高位数字（12）乘以 当前位数（100）。但同时它还受低位影响，百位出现1的情况是：12100~12113,一共14个【此处书上印刷有误】，等于低位数字（13）+1。

3）如果百位上数字大于1（2~9），则百位上出现1的情况仅由更高位决定，比如12213，则百位出现1的情况是：100~199,1100~1199，2100~2199，...........，11100~11199,12100~12199,一共有1300个，并且等于更高位数字+1（12+1）乘以当前位数（100）。

测试代码如下：N=12013的时候出现1的个数为7620=1202+1204+1200+2*1000+2014

#include<stdio.h>  #include <iostream>using namespace std;long long int Count(long long int n){  //1的个数  long long int count = 0;  //当前位  long long int Factor = 1;  //低位数字  long long int LowerNum = 0;  //当前位数字  long long int CurrNum = 0;  //高位数字  long long int HigherNum = 0;  if(n <= 0){  return 0;  }  while(n / Factor != 0){  //低位数字  LowerNum = n - (n / Factor) * Factor;  //当前位数字  CurrNum = (n / Factor) % 10;  //高位数字  HigherNum = n / (Factor * 10);  //如果为0,出现1的次数由高位决定switch(CurrNum){case 0://等于高位数字 * 当前位数  count += HigherNum * Factor;break;case 1://如果为1,出现1的次数由高位和低位决定  //高位数字 * 当前位数 + 低位数字 + 1  count += HigherNum * Factor + LowerNum + 1; break;default://如果大于1,出现1的次数由高位决定 //（高位数字+1）* 当前位数  count += (HigherNum + 1) * Factor;break;}//前移一位  Factor *= 10;  }  return count;  }  int main(){  long long int a;  a =12013;cout<<Count(a)<<endl;return 0;  }