BZOJ 1492 货币兑换 Cash 平衡树维护凸包 CDQ分治

题目大意：

这题真是为难了我1B。。。做了三天，两种方法都试过了一遍，真是膜拜NOI的神犇们能在一个多小时内干掉这道题

首先我们分析一下操作 首先是卖出

假设我们手中有一堆A券和一堆B券 选择在一些天数分天卖出

那么这些天中一定有一天，卖出同样比例的证券可以获得的钱最多

我们选择这一天全部卖出 一定比分天卖出更优

然后是买入 由于卖出是一天 对于任意一天卖出 我分开买 那么一定有一天花同样的钱买入证券后在那一天卖出获利最大

选择在那一天全部买入 一定比分天买入更优

故买入和卖出都是在一天完成，而且都是倾巢买入/卖出

然后。。这题一看就是斜率优化 连递推式都是P=A[i]*X[i]+B[i]*Y[i] 万事俱备 就是AB不单调！

斜率不单调其实也好办 反正是凸包 平衡树维护不就简单了

简单个熊啊！！！

第一天下午开始写，第二天早上还在调，下午才AC，写了足足5.5KB。。

SPLAY各种挂 调的我都快被SPLAY了

此外这题递推式不满足队列优化的条件、、只能在平衡树上找斜率，着实坑了我1B。。。

然后是代码 边界讨论那里写的有点累赘 见谅了

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#define M 100100#define null (&empty)using namespace std;typedef pair<double,double> point;struct List{    point p;    double slope;    List *last,*next;}head;typedef pair<int,List*> P;struct abcd{    point num;    List *pos;    int size;    abcd*ls,*rs;    void sizmaintain(){        size=1;        if(ls)size+=ls->size;        if(rs)size+=rs->size;    }}empty,*root=null,*Tar;void zig(abcd*&x){    abcd*k=x->ls;    x->ls=k->rs;    k->rs=x;    x=k;    x->rs->sizmaintain();    x->sizmaintain();}void zag(abcd*&x){    abcd*k=x->rs;    x->rs=k->ls;    k->ls=x;    x=k;    x->ls->sizmaintain();    x->sizmaintain();}void splay(abcd *&x,abcd **y){    if(x==Tar)return ;    if(x==*y)    {        if(x->ls==Tar){  zig(x); return ;  }        else if(x->rs==Tar){  zag(x); return ;  }    }    if(x->ls->ls==Tar) zig(x),zig(x);    else if(x->rs->rs==Tar) zag(x),zag(x);    else if(x->ls->rs==Tar) zag(x->ls),zig(x);    else if(x->rs->ls==Tar) zig(x->rs),zag(x);}void insert(abcd*&x,point y,List *z){    Tar=x;    if(x==null){        Tar=x=new abcd;        x->num=y;        x->pos=z;        x->size=1;        x->ls=x->rs=null;        return ;    }    x->size++;    if(y<x->num)insert(x->ls,y,z);    else insert(x->rs,y,z);    splay(x,&root);}void update(abcd*&x,point y,abcd**z){    int re=x->ls->size;    if(y==x->num)    {        Tar=x;        return ;    }    if(y<x->num) update(x->ls,y,z);    else update(x->rs,y,z);    splay(x,z);}List* pre(abcd*x,point y){    if(x==null)return &head;    if(y<=x->num)return pre(x->ls,y);    List*z=pre(x->rs,y);    if(z->p<x->num)    return x->pos;    return z;}double getslope(point p1,point p2){    if(p1.first==p2.first)        return 2147483647*(p2.second>p1.second?1:-1);    return (double)( p2.second-p1.second )/( p2.first-p1.first );}void insert_point(point p){    if(!head.next)    {        List*temp=new List;        head.next=temp;        temp->p=p;        temp->next=NULL;        temp->last=&head;        temp->slope=2147483647;        insert(root,p,temp);        return ;    }    List*pos=pre(root,p);    if( pos->next && pos->next->p == p )        return;    if(pos==&head)    {        pos=head.next;        while(1)        {            pos->slope = getslope( p , pos->p );            if(!pos->next)                break;            if( pos->next->slope > pos->slope )                pos=pos->next;            else                break;        }                 List*temp=new List;        temp->next=pos;        pos->last=temp;        head.next=temp;        temp->last=&head;        temp->p=p;        temp->slope=2147483647;        update(root,temp->next->p,&root);        root->ls=null;        root->sizmaintain();        insert(root,p,temp);        return ;    }    if(!pos->next)    {        List*temp=new List;        while(1)        {            temp->slope = getslope( pos->p , p );            if(pos->last==&head)                break;            if( temp->slope > pos->slope )                pos=pos->last;            else                break;        }        pos->next=temp;        temp->last=pos;        temp->p=p;        temp->next=NULL;        update(root,pos->p,&root);        root->rs=null;        root->sizmaintain();        insert(root,p,temp);        return ;    }    List*pos2 = pos->next;    if( getslope(pos->p,p) < getslope(p,pos2->p) )        return ;    List*temp = new List;    while(1)    {        pos2->slope=getslope(p,pos2->p);        if(!pos2->next)            break;        if( pos2->next->slope > pos2->slope )            pos2=pos2->next;        else            break;    }    while(1)    {        temp->slope = getslope( pos->p , p );        if(pos->last==&head)            break;        if( temp->slope > pos->slope )            pos=pos->last;        else            break;    }    temp->p=p;    temp->next=pos2;    pos2->last=temp;    temp->last=pos;    pos->next=temp;    update(root,pos->p,&root);    update(root,pos2->p,&(root->rs) );    root->rs->ls=null;    root->rs->sizmaintain();    root->sizmaintain();    insert(root,p,temp);}List* getans(abcd *x,double y)//找到第一个斜率大于y的点{    head.next->slope=2147483647;    if(x==null)return head.next;    double s = x->pos->slope;    if(y>=s)return getans(x->ls,y);    List*z=getans(x->rs,y);    if(z->slope>s)return x->pos;    return z;}/*List* pre(abcd*x,point y){    if(x==null)return &head;    if(y<=x->num)return pre(x->ls,y);    List*z=pre(x->rs,y);    if(z->p<x->num)    return x->pos;    return z;}*/double A[M],B[M],Rate[M],X[M],Y[M],f;int n;int main(){    int i;         //freopen("cash.in","r",stdin);    //freopen("cash.out","w",stdout);         empty.ls=empty.rs=null;    cin>>n>>f;    for(i=1;i<=n;i++)        scanf("%lf%lf%lf",&A[i],&B[i],&Rate[i]);    for(i=1;i<=n;i++)    {        if(i!=1)        {            point p=getans( root , - A[i] / B[i] )->p;            f=max( f , A[i] * p.first + B[i] * p.second );        }        X[i] = f / ( A[i] + B[i] / Rate[i] );        Y[i] = f / ( A[i] * Rate[i] + B[i] );        insert_point( make_pair( X[i] , Y[i] ) );        //printf("%d %.3lf %.3lf %.3lf\n",i,f,X[i],Y[i]);    }    printf("%.3lf\n",f);}

第二种方法就简单多了 CDQ分治

CDQ分治的思想是f[i]的决策点一定在0~i-1之中，于是我们分治，其中对于每一层递归[l,r]，二分出一个中点mid

然后递归求出[l,mid]中所有的f值，对[l,mid]中的点建立凸包，用[mid+1,r]中的所有元素的斜率去询问，得到[l,mid]中所有的点对[mid+1,r]中所有点的影响

然后递归求出[mid+1,r]中的所有f值

其中当我们递归到任意[i,i]时，0~i-1中所有点对这个点的影响都已经计算过，于是直接得出f[i]即可

这个算法不难理解，但是我挂了半天。。CDQ没写错，sort居然写错了，按照Rate排了个序，眼科大夫死得早啊

最可怕的是前四个点居然还过了 这是要有多水的节奏

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#define M 100100using namespace std;typedef pair<double,double> P;int n,stack[M],top;double f[M];struct abcd{    double A,B,Rate;    double slope;    int pos;}q[M],nq[M];bool operator < (abcd x,abcd y){    return x.slope < y.slope;}P p[M],np[M];double getslope(P x,P y){    if(x.first==y.first)        return 2147483647*(y.second>=x.second?1:-1);    return (y.second-x.second)/(y.first-x.first);}void CDQ(int l,int r){    int i,mid=l+r>>1;    if(l==r)    {        f[mid]=max( f[mid] , f[mid-1] );        p[mid].first = f[mid] / ( q[mid].A + q[mid].B / q[mid].Rate ) ;        p[mid].second = f[mid] / ( q[mid].A * q[mid].Rate + q[mid].B ) ;        return ;    }    int l1=l,l2=mid+1;    for(i=l;i<=r;i++)        if(q[i].pos<=mid)            nq[l1++]=q[i];        else            nq[l2++]=q[i];    memcpy( q+l , nq+l , sizeof(q[0])*(r-l+1) );    CDQ(l,mid);    top=0;    for(i=l;i<=mid;i++)    {        while(top>1)            if( getslope(p[stack[top-1]],p[stack[top]]) < getslope(p[stack[top]],p[i]) )                stack[top--]=0;            else                break;        stack[++top]=i;    }    for(i=mid+1;i<=r;i++)    {        while(top>1)            if( getslope(p[stack[top-1]],p[stack[top]]) < q[i].slope )                stack[top--]=0;            else                break;        f[q[i].pos]=max(f[q[i].pos],q[i].A*p[stack[top]].first+q[i].B*p[stack[top]].second);    }    CDQ(mid+1,r);    l1=l;l2=mid+1;    for(i=l;i<=r;i++)        if ( ( p[l1]<p[l2] || l2>r ) && l1<=mid )            np[i]=p[l1++];        else np[i]=p[l2++];    memcpy( p+l , np+l , sizeof(p[0])*(r-l+1) );}int main(){    int i;         //freopen("cash.in","r",stdin);    //freopen("cash.out","w",stdout);         cin>>n>>f[0];    for(i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%lf%lf%lf",&q[i].A,&q[i].B,&q[i].Rate);        q[i].slope=-q[i].A/q[i].B;        q[i].pos=i;    }    sort(q+1,q+n+1);    CDQ(1,n);    printf("%.3lf\n",f[n]);}

最后还是来一句膜拜神犇吧 07年的第一题就这么难 这么难 这么难0.0.0.0.0.0.0.0.0.0