ACdream 1175 Board 对称思想，完全解题过程！

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Problem Description

有一个N * N的棋盘，对于方格上的两个点(x1,y1),(x2,y2)，(1 <= x1,y1,x2,y2 <= N) 如果abs(x1 - x2) < abs(y1 - y2)，则称(x1,y1)攻击到了(x2,y2)，现在想问你每个点能攻击的其他点数目之和 % 1000000007

Input

多组数据，每组数据一个数N（1<=N<=10^9)

Output

每组数据一行，答案

Sample Input

1234

Sample Output

042692

Source

classical

Manager

scaucontest

又是数学题，好吧，我承认刷ACdream数学题提高了不少。碰到这种题目，第一反应，毫无疑问，打暴力程序找规律。于是就有了最初始的暴力程序：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<ctime>#include<string>#include<cstring>#include<algorithm>#include<fstream>#include<queue>#include<stack> #include<vector>#include<cmath>#include<iomanip>#define rep(i,n) for(i=1;i<=n;i++)#define MM(a,t) memset(a,t,sizeof(a))#define INF 1e9typedef long long ll;#define mod 1000000007using namespace std;int n;int a[1000][1000];int cal(int x,int y){int i,j;int res=0;rep(i,n)  rep(j,n)  if(y!=j && abs(x-i)<abs(y-j)) res++;    return res;}int main(){int i,j;    while(scanf("%d",&n)!=EOF){    MM(a,0);    int res=0;    rep(i,n)      rep(j,n){      a[i][j]=cal(i,j);      res+=a[i][j];      }      rep(i,n){      rep(j,n) cout<<setw(4)<<a[i][j];      cout<<'\n';      }    cout<<"Res= "<<res<<'\n';    }return 0;}

以n=10为例的结果是这样的：

10
  45  37  31  27  25  25  27  31  37  45
  53  44  38  34  32  32  34  38  44  53
  59  50  43  39  37  37  39  43  50  59
  63  54  47  42  40  40  42  47  54  63
  65  56  49  44  41  41  44  49  56  65
  65  56  49  44  41  41  44  49  56  65
  63  54  47  42  40  40  42  47  54  63
  59  50  43  39  37  37  39  43  50  59
  53  44  38  34  32  32  34  38  44  53
  45  37  31  27  25  25  27  31  37  45
Res= 4380

这些数字乍看之下毫无规律可言，但可以发现它整体是中心对称的，再来仔细考虑下条件abs(x1 - x2) < abs(y1 - y2)，对于一个点来说，符合条件的点也是中心对称的，具体应该是当x2==x1时的那一条线和这个点的左上左下右上右下分布着符合条件的点，我们不妨把暴力程序改变一下，如：

  if(y!=j && abs(x-i)<abs(y-j)) res++;if中加个条件为x==i

就会有了美如画的一个结果：

10
   9   9   9   9   9   9   9   9   9   9
   9   9   9   9   9   9   9   9   9   9
   9   9   9   9   9   9   9   9   9   9
   9   9   9   9   9   9   9   9   9   9
   9   9   9   9   9   9   9   9   9   9
   9   9   9   9   9   9   9   9   9   9
   9   9   9   9   9   9   9   9   9   9
   9   9   9   9   9   9   9   9   9   9
   9   9   9   9   9   9   9   9   9   9
   9   9   9   9   9   9   9   9   9   9
Res= 900

这个900在最终结果中是只占一个的，而且可以看出它=n*n*（n-1）

接着在改把x==i && y!=j改为 x>i && y>j

又会发现：

10
   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
   0   0   1   2   3   4   5   6   7   8
   0   0   1   3   5   7   9  11  13  15
   0   0   1   3   6   9  12  15  18  21
   0   0   1   3   6  10  14  18  22  26
   0   0   1   3   6  10  15  20  25  30
   0   0   1   3   6  10  15  21  27  33
   0   0   1   3   6  10  15  21  28  35
   0   0   1   3   6  10  15  21  28  36
   0   0   1   3   6  10  15  21  28  36
Res= 870

可以发现870*4+900=4380 所以本题关键点在于求这个四分之一点的总和，看最后一行的总和是等差数列和的累加和，然后从倒数第三行看起每行比最后一行少个等差数列和的累加和，因为N有1e9之大，所以我们必须求出等差数列和的累加和的通项公式，以及等差数列和的累加和的累加和的通项公式。

a(n)=n(n+1)/2+a(n-1)这是递推公式，发挥你在高中学过的知识把a(n)的通项公式和S(n)的通项公式给求出来吧。

不过在解这个方程前你得先知道平方和公式：n(n+1)(2n+1)/6 立方和公式 n*n(n+1)(n+1)/4；

经过一系列复杂的计算可以得到两个美如画的公式：

等差数列和累加和 a(n)=n(n+1)(n+2)/6 S(n)=n(n+1)(n+2)(n+3)/24 全部总的和的公式也可以得到为：

Res=4*((n-1)*a(n-2)-S(n-3))+(n-1)*n*n 最后结果是要mod 1e9+7的，但是mod的过程中是不能除的，不然就会丢失精确数据，但凡除的必须在原数据中把除法搞定，所以对于a(n)中的n,n+1,n+2来说，能除以2,3（6的约数）的就直接除了，S(n)类似。

总程序：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<ctime>#include<string>#include<cstring>#include<algorithm>#include<fstream>#include<queue>#include<stack> #include<vector>#include<cmath>#include<iomanip>#define rep(i,n) for(i=1;i<=n;i++)#define MM(a,t) memset(a,t,sizeof(a))#define INF 1e9typedef long long ll;#define mdu 1000000007using namespace std;ll n;ll funa(ll x){ll t[4]={x,x+1,x+2,1};ll chu[2]={2,3};int i=0,j=0;    while(i<3 && j<1){   if(t[i]%chu[j]==0) {      t[i]/=chu[j];j++;    }    else i++;    }    i=0;    while(i<3 && j<2){   if(t[i]%chu[j]==0) {      t[i]/=chu[j];j++;    }    else i++;    }    t[3]=t[0];    for(i=1;i<3;i++) t[3]=(t[3]*t[i])%mdu;        return t[3];}ll funs(ll x){    ll t[5]={x,x+1,x+2,x+3,1};ll chu[4]={2,2,2,3};int i=0,j=0;    while(i<4 && j<3){   if(t[i]%chu[j]==0) {      t[i]/=chu[j];j++;    }    else i++;    }    i=0;    while(i<4 && j<4){   if(t[i]%chu[j]==0) {      t[i]/=chu[j];j++;    }    else i++;    }    t[4]=t[0];    for(i=1;i<4;i++) t[4]=(t[4]*t[i])%mdu;        return t[4];}int main(){int i,j;ll res;while(scanf("%lld",&n)!=EOF){  switch(n){      case 1:cout<<0<<'\n'; continue;case 2:cout<<4<<'\n'; continue;case 3:cout<<26<<'\n'; continue;    default:  ll t1=funa(n-2);  t1=(n-1)*t1%mdu;  ll t2=funs(n-3);  if(t1>t2) t1-=t2;  else      t1=t1+mdu-t2;  t1=4*t1%mdu;  t1=(t1+(n*n%mdu)*(n-1)%mdu)%mdu;  res=t1;    }    cout<<res<<'\n';}return 0;}