Yale开放课程博弈论2

昨天室友在阿里的在线笔试中恰好遇到了这道题：“每人给出一个从1到100之间的数字。把所有人的数字求算术平均值。谁选的数字最接近这个算术平均值的2/3，谁就赢得整场游戏。”不过作为选择题，从1,2,10,30和80中选出一个最不可能赢的选项还是不算很困难的。

Ben Polak在第一节课上就让全班同学做了这个游戏，但是没有立即宣布答案。最近居然没有坚持把该课程看下去（自责一下），直到昨晚跟室友聊到这个题目，我才把第二集翻出来看看他们游戏的结果。这里先写下他们的结果吧：平均数是13又1/3，赢得游戏的数字是9。

首先在开始游戏后，每个人拿到纸张究竟该写个什么数字确实一时之间很迷茫，但是既然是和很多人一起做这个游戏，游戏的结果又得取决于其他人的选择，所以首先在写自己的数字之前得站在别人的立场上想想。

那么别人究竟会怎么选择呢？一个很简单的假设是如果大家都随机选择一个数字，那么平均数应该是50（人数较多的情况下），取其三分之二就是约33，也就是说写33可能会赢得这个游戏。但是再深入考虑一下这个前提假设，大家都会随机选择吗？任何一个理性的人都会以赢得游戏为目标，大家的选择肯定不会是随机的，而是想尽量靠近所谓的平均值的三分之二。

那么别人究竟会怎么选择呢？毫无头绪，确实不好揣测，我们不妨直接拿结果来分析一下。所有人的数字的平均值最大只能是100（也就是说所有人都写100），其三分之二约为67，也就是说所有其他人都选择100,的时候你选择67会赢得比赛。但是似乎任何一个稍有理性的人都不会选择超过67的数字，因为任何想赢得比赛的人都不会选择100，而是选择不超过67的数字。因为站在别人的立场上考虑问题的话，大于67的数字都会是劣势策略（dominated strategy）。

这样一来，若大家都能想到上面提到的“别人究竟会怎么选择”这一点的话，那么所有人的选择都会缩减到[1, 67]的空间里了，再继续站在别人的角度去想其他人会怎么选的话，他们的选择空间又会缩减到[1, 45]，再深入一层，站在别人的角度去揣摩其他人会怎么考虑其他人怎么选的话，就是[1,30]。

这样一直博弈下去，最理想的结果似乎所有人都会选择1，这样的话所有人都是赢家。实际上在Ben实验的班级上确实有很多人的选择不超过5，但是最终结果却没有达到1。主要是因为并不是所有人都是天才，那些比较聪明的人想到了这些所以选择了1，他们的前提假设是所有人都跟他们一样聪明，实际上可能不是。或许是有人没想到这一点才填写了一个较大的数字（他们班上确实还有4个选择超过67的人），或许有更聪明的人会想到并不是所有人都会跟他一样聪明，所以才故意选择了比1大的数字，才使得最后的赢家是选择9的数字。

王建硕之前写过一篇文章“世界不是天才创造的”分析这个问题，并且做了实验，答案在22左右。所以这道题并没有标准答案，没有任何选择可以是必胜的，它取决于实验者的分布。

注：今天刚刚开通博客，不怎么写东西，可能言语不够好，见谅！