[递归与分治]棋盘覆盖问题

来源:互联网 发布:联想网络唤醒bios设置 编辑:程序博客网 时间:2024/05/10 13:32


参考:http://riddickbryant.javaeye.com/blog/559388

在一个2^k x 2^k 个方格组成的棋盘中,恰有一个方格与其他方格不同,称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中,要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格,且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

这里我们用分治法解决该问题。分治法是把一个规模很大的问题分解为多个规模较小、类似的子问题,然后递归地解决所有子问题,最后再由子问题的解决得到原问题的解决。
【解题思路】:将2^k x 2^k的棋盘,先分成相等的四块子棋盘,其中特殊方格位于四个中的一个,构造剩下没特殊方格三个子棋盘,将他们中的也假一个方格设为特殊方格。如果是:

左上的子棋盘(若不存在特殊方格)----则将该子棋盘右下角的那个方格假设为特殊方格
右上的子棋盘(若不存在特殊方格)----则将该子棋盘左下角的那个方格假设为特殊方格
左下的子棋盘(若不存在特殊方格)----则将该子棋盘右上角的那个方格假设为特殊方格
右下的子棋盘(若不存在特殊方格)----则将该子棋盘左上角的那个方格假设为特殊方格

 

当然上面四种,只可能且必定只有三个成立,那三个假设的特殊方格刚好构成一个L型骨架,我们可以给它们作上相同的标记。这样四个子棋盘就分别都和原来的大棋盘类似,我们就可以用递归算法解决。


/*    (tr,tc) -- 当前棋盘左上角坐标    (dr,dc) -- 黑色方格所在位置     size:当前棋盘的大小:2^k*/#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;int tile = 1;//L型骨牌的编号(递增)int board[100][100];//棋盘void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size){    if(size == 1) return;//棋盘方格大小为1,说明递归到最里层    int t = tile++;//每次递增1    int s = size / 2;//棋盘中间的行、列号(相等的)    //检查特殊方块是否在左上角子棋盘中    if(dr < tr + s && dc < tc + s) chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);//在,递归寻找子棋盘    else//不在,将该子棋盘右下角的方块视为特殊方块    {        board[tr+s-1][tc+s-1] = t;//左上角子棋盘的右下角方块        chessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s);    }    //检查特殊方块是否在右上角子棋盘中    if(dr < tr + s && dc >= tc + s) chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);    else//不在,将该子棋盘左下角的方块视为特殊方块    {        board[tr+s-1][tc+s] = t;//右上角棋盘的左下角方块        chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);    }    //检查特殊方块是否在左下角子棋盘中    if(dr >= tr + s && dc < tc + s) chessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);    else            //不在,将该子棋盘右上角的方块视为特殊方块    {        board[tr+s][tc+s-1] = t;        chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);    }    //检查特殊方块是否在右下角子棋盘中    if(dr >= tr + s && dc >= tc + s) chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);    else         //不在,将该子棋盘左上角的方块视为特殊方块    {        board[tr+s][tc+s] = t;//右下角棋盘的左上角        chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);    }}int main(){#ifndef ONLINE_JUDGE//    freopen("in.txt","r",stdin);//    freopen("out.txt","w",stdout);#endif // ONLINE_JUDGE    int size;    cout << "输入棋盘的size(大小必须是2的n次幂): ";    cin >> size;    int index_x,index_y;    cout << "输入特殊方格位置的坐标: ";    cin >> index_x >> index_y;    chessBoard(0,0,index_x,index_y,size);    for(int i = 0; i < size; i++)    {        for(int j = 0; j < size; j++)            cout << board[i][j] << "\t";        cout << endl;    }    return 0;}


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