Bellman_Ford 算法



Bellman-ford算法

简介

是求含负权图的单源最短路径算法，由于浪费了许多时间做无必要的松弛，效率很低，但代码很容易写。即进行不停地松弛，每次松弛把每条边都更新一下，若n-1次松弛后还能更新，则说明图中有负环，无法得出结果，否则就成功完成。Bellman-ford算法有一个小优化：每次松弛先设一个标识flag，初值为FALSE，若有边更新则赋值为TRUE，最终如果还是FALSE则直接成功退出。

证明

图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。从源点s可达的所有顶点如果存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。在对每条边进行第1遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边，所以，只需要循环|v|-1 次。每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间）

注意：上述只对正权图有效。如果存在负权不一定第i次就能确定最短路，且与边的顺序有关。如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞，则表明从s到v不可达。如果有负权回路，那么第 |v| 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不会收敛。

代码

bool Bellman_Ford(){    for(int i=1; i<=V; i++){        dis[i] = 1e9;    }    bool flag;    for(int i=0; i<V-1; i++){//flag加以优化        flag = false;        for(int j=1; j<=num; j++){            if(dis[node[j].to] > dis[node[j].from] + node[j].cost){                dis[node[j].to] = dis[node[j].from] + node[j].cost;                flag = true;            }        }        if(!flag)   break;//发现一条最短路直接退出循环    }    for(int i=1; i<=num; i++){///判定负环        if(dis[node[i].to] > dis[node[i].from] + node[i].cost)            return true;    }    return false;}