赫夫曼树

原文参考自：http://blog.csdn.net/shuangde800/article/details/7341289

及http://www.java3z.com/cwbwebhome/article/article8/83550.html?id=4624

一、哈夫曼树的概念和定义

 

什么是哈夫曼树？

让我们先举一个例子。

判定树：

        在很多问题的处理过程中，需要进行大量的条件判断，这些判断结构的设计直接影响着程序的执行效率。例如，编制一个程序，将百分制转换成五个等级输出。大家可能认为这个程序很简单，并且很快就可以用下列形式编写出来：

if(score<60)cout<<"Bad"<<endl;else if(score<70)cout<<"Pass"<<endlelse if(score<80)cout<<"General"<<endl;else if(score<90)cout<<"Good"<<endl;elsecout<<"Very good!"<<endl;

若考虑上述程序所耗费的时间，就会发现该程序的缺陷。在实际中，学生成绩在五个等级上的分布是不均匀的。当学生百分制成绩的录入量很大时，上述判定过程需要反复调用，此时程序的执行效率将成为一个严重问题。

 

但在实际应用中，往往各个分数段的分布并不是均匀的。下面就是在一次考试中某门课程的各分数段的分布情况： 

下面我们就利用哈夫曼树寻找一棵最佳判定树，即总的比较次数最少的判定树。

第一种构造方式：

第二种构造方式：

这两种方式，显然后者的判定过程的效率要比前者高。在也没有别地判定过程比第二种方式的效率更高。

 

我们称判定过程最优的二叉树为哈夫曼树，又称最优二叉树

 

 

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定义哈夫曼树之前先说明几个与哈夫曼树有关的概念：

 

路径： 树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径。

路径长度：路径上的分枝数目称作路径长度。

树的路径长度：从树根到每一个结点的路径长度之和。

结点的带权路径长度：在一棵树中，如果其结点上附带有一个权值，通常把该结点的路径长度与该结点上的权值

                                       之积称为该结点的带权路径长度（weighted path length）

什么是权值?( From 百度百科 )

    　计算机领域中（数据结构）

　　权值就是定义的路径上面的值。可以这样理解为节点间的距离。通常指字符对应的二进制编码出现的概率。

　　至于霍夫曼树中的权值可以理解为：权值大表明出现概率大！

　　一个结点的权值实际上就是这个结点子树在整个树中所占的比例.

　　abcd四个叶子结点的权值为7,5,2,4. 这个7,5,2,4是根据实际情况得到的,比如说从一段文本中统计出abcd四个字母出现的次数分别为7,5,2,4. 说a结点的权值为7,意思是说a结点在系统中占有7这个份量.实际上也可以化为百分比来表示,但反而麻烦,实际上是一样的.

 

树的带权路径长度：如果树中每个叶子上都带有一个权值，则把树中所有叶子的带权路径长度之和称为树的带

                                   权路径长度。

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一般来说，用n（n>0）个带权值的叶子来构造二叉树，限定二叉树中除了这n个叶子外只能出现度为2的结点。

 

那么符合这样条件的二叉树往往可构造出许多颗，

 

 

其中带权路径长度最小的二叉树就称为哈夫曼树或最优二叉树

 

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 n 个叶子构成的哈夫曼树其带权路径长度唯一吗？确实唯一。树形唯一吗？不唯一。

因为将森林中两棵权值最小和次小的子棵合并时，哪棵做左子树，哪棵做右子树并不严格限制。图之中的做法是把权值较小的当做左子树 , 权值较大的当做右子树。如果反过来也可以，画出的树形有所不同，但 WPL 值相同。为了便于讨论交流在此提倡权值较小的做左子树 , 权值较大的做右子。

二、 哈夫曼树的应用
(1) 用于最佳判断过程。(上面已提到）
(2) 用于通信编码

　　 在通信及数据传输中多采用二进制编码。为了使电文尽可能的缩短，可以对电文中每个字符出现的次数进行统计。设法让出现次数多的字符的二进制码短些，而让那些很少出现的字符的二进制码长一些。假设有一段电文，其中用到 4 个不同字符Ａ，Ｃ，Ｓ，Ｔ，它们在电文中出现的次数分别为 8 ， 2 ， 4 ， 5 。把 8 ， 2 ， 4 ， 5 当做 4 个叶子的权值构造哈夫曼树如图所示。在树中令所有左分支取编码为 0 ，令所有右分支取编码为1。将从根结点起到某个叶子结点路径上的各左、右分支的编码顺序排列，就得这个叶子结点所代表的字符的二进制编码，如图所示。

这些编码拼成的电文不会混淆，因为每个字符的编码均不是其他编码的前缀，这种编码称做前缀编码。会混淆的不等长编码举例：

    可以为A，C，S，T四个字符分别分配0，00，1，01，并发送序列：000011010，其长度只有9个二进制位，但随之带来了一个问题，接收方接到这段电文后无法进行译码，因为无法断定前面4个0是4个A，1个B、2个A，还是2个B，即译码不唯一，因此这种编码方法不可使用。

　 关于信息编码是一个复杂的问题，还应考虑其他一些因素。比如前缀编码每个编码的长度不相等，译码时较困难。还有检测、纠错问题都应考虑在内。这里仅对哈夫曼树举了一个应用实例。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;#define N 10         // 带编码字符的个数，即树中叶结点的最大个数#define M (2*N-1)    // 树中总的结点数目class HTNode{        // 树中结点的结构public: unsigned int weight;unsigned int parent,lchild,rchild;};                    class HTCode{public:char data;      // 待编码的字符int weight;     // 字符的权值char code[N];   // 字符的编码};void Init(HTCode hc[], int *n){// 初始化，读入待编码字符的个数n，从键盘输入n个字符和n个权值int i;printf("input n = ");scanf("%d",&(*n));printf("\ninput %d character\n",*n); fflush(stdin);for(i=1; i<=*n; ++i)scanf("%c",&hc[i].data);printf("\ninput %d weight\n",*n);for(i=1; i<=*n; ++i)scanf("%d",&(hc[i].weight) );fflush(stdin);}//void Select(HTNode ht[], int k, int *s1, int *s2){// ht[1...k]中选择parent为0，并且weight最小的两个结点，其序号由指针变量s1，s2指示int i;for(i=1; i<=k && ht[i].parent != 0; ++i){ ; ;}*s1 = i;for(i=1; i<=k; ++i){if(ht[i].parent==0 && ht[i].weight<ht[*s1].weight)*s1 = i;}for(i=1; i<=k; ++i){if(ht[i].parent==0 && i!=*s1)break;}*s2 = i;for(i=1; i<=k; ++i){if(ht[i].parent==0 && i!=*s1 && ht[i].weight<ht[*s2].weight)*s2 = i;}}void HuffmanCoding(HTNode ht[],HTCode hc[],int n){// 构造Huffman树ht，并求出n个字符的编码char cd[N];int i,j,m,c,f,s1,s2,start;m = 2*n-1;for(i=1; i<=m; ++i){if(i <= n)ht[i].weight = hc[i].weight;elseht[i].parent = 0;ht[i].parent = ht[i].lchild = ht[i].rchild = 0;}for(i=n+1; i<=m; ++i){Select(ht, i-1, &s1, &s2);ht[s1].parent = i;ht[s2].parent = i;ht[i].lchild = s1;ht[i].rchild = s2;ht[i].weight = ht[s1].weight+ht[s2].weight;}cd[n-1] = '\0';for(i=1; i<=n; ++i){start = n-1;for(c=i,f=ht[i].parent; f; c=f,f=ht[f].parent){if(ht[f].lchild == c)cd[--start] = '0';elsecd[--start] = '1';}strcpy(hc[i].code, &cd[start]);}}int main(){int i,m,n,w[N+1];HTNode ht[M+1];HTCode hc[N+1];Init(hc, &n);     // 初始化 HuffmanCoding(ht,hc,n);   // 构造Huffman树，并形成字符的编码for(i=1; i<=n; ++i)  printf("\n%c---%s",hc[i].data,hc[i].code);  printf("\n");return 0;}