扩展欧几里德算法

原文出处：http://blog.csdn.net/dream_ysl/article/details/6683314

欧几里德是用来求最大公约数的，可以把它看成是状态转移，

对任意两个数a，b（a>b），d=gcd（a，b），如果b不为零，那么gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

        证明： 令 r=a%b，即存在k，使得 a=b*k+r，那么r=a-b*k；显然r>=0,  r%d=（（a%d）-（b*k）%d）%d，因为a%d=b%d=0，所以r%d=0；

因此求gcd（a，b）可以转移到求gcd（b，a%b），那么这就是个递归过程了，那什么时候递归结束呢，想一下，a，b不能为零，则可以把当b为零，作为递归的结束（当然还可以以其它结束条件），这就是求最大公约数的方法可以以其它结束条件），这就是求最大公约数的方法

int gcd(int a,int b){    if(b==0)return a;     else return gcd(b,a%b); }

理解了上面，那么扩展欧几里得就能很容易理解了，对任意a，b（a>b），我们列出这样一个式子： a*x+b*y=gcd(a,b);

不要觉得扩展欧几里得很牛逼，它就是一个算x，y的一个方法，只是在上面gcd中多了处理x，y的步骤

我们这样来想：

已知当前的一个状态：a1  b1  x1  y1,    a1*x1+b1*y1=gcd(a1,b1),注意这里的a1，b1是求gcd（a，b）中的一个状态，

假设 （a1，b1）是由（a0，b0）转移过去的

那么：   a1=b0 ;     b1=a0%b0=a0-k*b0 （k=int(a0/b0)）;gcd(a0,b0)=gcd(a1,b1);

代入a1*x1+b1*y1=gcd(a1,b1),变化成：b0*x1+(a0-k*b0)*y1=gcd(a1,b1)=gcd(a0,b0);

a0*y1+b0*(x1-k*y1)=gcd(a0,b0);

这样可以得到： x0=y1;  y0=x1-k*y1;(理解这个过程了么，由当前状态可以算出上一状态的x，y，即当前状态可以由它的下一个状态的x，y得到)

code：

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y){if(b==0){x=1;y=0;return a;// 此时a是最开始（a,b）的最大公约数，那么  gcd（a,b）*1+ 0*0=gcd(a,b),肯定对的，在这里，我认为，y可以为任何值都对}int d=exGcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d;//返回最大公约数}

应用：

扩展欧几里得算法的应用基本全都是基于：a*x+b*y=d 这个式子来发散的