Maximum Submatrix & Largest Rectangle

http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/39048485

探讨几个和求最大长方形相关的题目，并说明如何把一些相对复杂的问题化归成简单的易解的问题。这里的最大，可以指长方形内所有元素之各最大，也可以指面积最大。

问题一（最大和子矩阵） ： 有一个 m x n 的矩阵，矩阵的元素可正可负。请找出该矩阵的一个子矩阵（方块），使得其所有元素之和在所有子矩阵中最大。(问题来源：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1050）

问题二（ 最大 0/1 方块） ：有一个 m x n 的矩阵，元素为 0 或 1。一个子矩阵，如果它所有的元素都是 0， 或者都是 1，则称其为一个 0-聚类 或 1-聚类，统称聚类(Cluster)。请找出最大的聚类（元素最多的聚类）（面试题）

这两个问题，除了都是在矩阵上操作之外，似乎没有什么共同之处。其实不然。事实上，它们可以用同一个思路解决。该思路来源于下面的一个问题，具体地说，就是把前两个问题化归成多个问题三：

问题三（和最大的段） ：有 n 个有正有负的数排成一行，求某个连续的段，使得其元素之和最大。(问题来源：某面试题。事实上，这也是一道经典题目，具体参考 http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_subarray_problem)

问题四（最大长方形） ： 有一个有 n 个项的统计直方图，假定所有的直方条 (bar) 的宽度一样。在所有边与 x 轴 和 y 轴平行的长方形中，求该被该直方图包含的面积最大的长方形。（问题来源：面试经典题目）

问题四似乎和前三个问题毫不相关。令人吃惊地是，它的解决方法可以给最大0/1方块问题提供新思路，同样的，就是把最大0/1方块问题化归成多个问题四。本文的重点在于化归的思想 ，即把一些相对难的问题化归成一个或多个相对容易的问题，而这些容易的问题往往有更高效和优美的解。如果化归得当，问题的解会比直接去解该问题量多优美和更有效率。

接下来的部分，我们先用动态规划解前两个问题，以给后面不同的解决思路提供对比。接着解决问题三，并介绍如何把前两个问题化归到问题三。最后解决最后一个问题，并应用它来给出问题二另一种思路。为了讨论方便，我们假设 m 和 n 只相差常数倍。否则的话，由于问题的对称性，我们可以翻转矩阵，从而使得时间复杂度取得最小。

 

I 前两个问题的动态规划解

最大和子矩阵问题:

每个子矩阵由列长、行长和左上角的元素位置决定。如果我们指定左上角的元素位置 (i,j) 和列长 c，那么可以求所有这些子矩阵中和最大的。然后，变化列长 c，可以求以 (i,j) 为左上角的最大和子矩阵。最所有左上角位置再求最大和子矩阵，问题就解决了。令 OPT(i,j,c) 表示以 (i,j) 为左上角，列长为 c 的最大和子矩阵之和，OPT(i,j) 表示以 (i,j) 为左上角的最优解，而 S(i,u,v) 表示第 i 行中从列 u 到列 v所有元素之和。则

    OPT(i,j,c) = { OPT(i+1,j,c) + S(i,j,j+c-1)OPT(i+1,j,c) > 0

S(i,j,j+c-1)OPT(i+1,j,c) <= 0

    OPT(i,j) = max { OPT(i,j,c) : 1 <= c <= n }

其中，j+c-1 <= n。当 i >m 时， OPT(i,j,c) = 0。一共有 O(mn) 个 OPT(i,j) 子问题，而每个 OPT(i,j) 又可以有 n 个决策，因此，总的解规模有 O(mn² ) 个 OPT(i,j,c)。每个这样的子问题可以在 O(1) 时间内解决，时间复杂度为 O(mn² )。

对于最大 0/1 块问题，可以用类似的动态规划求解。首先只考虑 1-聚类。令 OPT(i,j,c) 表示以 (i,j) 为左上角的列长为 c 的最大 1-聚类。则， OPT(i,j,c) =

    1) 0，如果 (i,j) 为 0，或者 (i,j), (i,j+1),..., (i,j+1-c) 不全为 1；否则

    2) OPT(i+1,j,c) + c。

然后再考虑 0-聚类，过程类似。总的时间复杂度也是 O(mn² )。【这种解法虽然可行，效率也还可以，但状态比较多，而且也不够优雅，状态的构造比较生硬。】

/*DP算法 O(N^2*M)AC 47MS*/static int maxSubmatrixSum2(int **a, int n){int ***row_sum;assert( row_sum = (int ***)malloc(sizeof(int **) * n) );for(int i = 0; i < n; i++)assert( row_sum[i] = (int **)malloc(sizeof(int *) * n) );for(int i = 0; i < n; i++)for(int j = 0; j < n; j++){assert( row_sum[i][j] = (int *)malloc(sizeof(int) * n) );memset(row_sum[i][j], 0, sizeof(int) * n);//初始化row_sum[i][j][c]为0!!!}//计算row_sum[i][j][c]为第i行j列到c列的和for(int i = n - 1; i >= 0; i--){for(int j = 0; j < n; j++){for(int c = j; c < n; c++)if(c == 0)row_sum[i][j][c] = a[i][c];elserow_sum[i][j][c] = row_sum[i][j][c - 1] + a[i][c];}}//将row_sum[i][j][c]转换成第i行j列到c列的和的最优解for(int i = n - 2; i >= 0; i--){//row_sum[n-1][j][c]不变for(int j = 0; j < n; j++)for(int c = j; c < n; c++){if(row_sum[i+1][j][c] > 0)row_sum[i][j][c] += row_sum[i+1][j][c];}}//求以[i, j]为左上角的矩形最优解int **optij = (int **)malloc(sizeof(int *) * n);for(int i = 0; i < n; i++)optij[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * n);for(int i = 0; i < n; i++)memset(optij[i], INT_MIN, sizeof(int) * n);for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < n; j++)for(int c = j; c < n; c++){if(row_sum[i][j][c] > optij[j][j])optij[j][j] = row_sum[i][j][c];}}//求整体最优解int max_sum = INT_MIN;for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < n; j++){if(optij[i][j] > max_sum)max_sum = optij[i][j];}}return max_sum;}

II 和最大的段问题

这个问题，最直接的办法是对每个可能的段求和，然后取最大值。这样的话，时间复杂度是 O(n² )。最优的解是只扫描数组一遍，因此时间为 O(n)。假设 x1, x2, ..., xt 是最优解。那么，显然， 对任何 i <= t，x1, x2,..., xi 之和不可能为负。否则，砍去这一段，我们可以得到更大的值，这些该段的最优性矛盾。这就是说，最优解的段前缀不可能为负。而换句话说，如果一个段的和为负，则不可能是最优解的一部分。一开始，令当前段为从 x1 开始的段，置为空。我们从数组开始向前搜索，并把遇到的数加入当前段 s，同时记录目前遇到的最大和。这个过程一直持续到加入某个数 xi，使得 s 之和为负，则清空 s，然后以 xi 的下一个元素为当前段的开始，继续向前搜索。重复这个过程直到数组结束。在实现时，并不需要维护集合 s 并每次都对其对和，而只需要维护一个当前段的和，当有新元素加入当前段时，更新段的和；当重新开始一个段时，清 0 该段之和。

其它非最优算法见http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/39083281

/* O(n) 最优算法（记录左右边界）*/static int maxSubarraySum5(int *a, int n){int sum = 0, max_sum = INT_MIN;int max_low = 0, max_high = 0;//最优子数组左右边界int low = 0;//当前非<0前缀的子数组首下标for(int i = 0; i < n; i++){sum += a[i];if(sum > max_sum){max_sum = sum;max_high = i;max_low = low;}if(sum < 0){//前缀<0时可以去掉sum的累积和sum = 0;low = i + 1;}}printf("max_low = %d, max_high = %d\n", max_low, max_high);return max_sum;}

s = 0  max = 0  u = v = 1 // the starting index u and ending index v of current solution  max_u = max_v = -1 // the starting and ending index of optimal solution  for i from 1 to n      s = s + xi      if max < sum(s) then          max = sum(s)          v = i;          max_v = v;          max_u = u;      end if      if sum(s) < 0 then           s = 0 // clear s          u = v = i+1      end if  end for  return max, max_u, max_v  

//***************************************************************************************///*编程之美2.14 —— 求数组的子数组之和的最大值（微软亚研2006）皮皮 2014-9-4*///***************************************************************************************/#include <stdio.h>#include <assert.h>#include <malloc.h>#include <limits.h>int main(){assert( freopen("BOP\\maxSubarraySum.in", "r", stdin) );int cases;//测试案例数目scanf("%d", &cases);while(cases--){int n;//每个案例中数组元素个数scanf("%d", &n);int *a = (int *)malloc(sizeof(int) * n);for(int i = 0; i < n; i++)scanf("%d", &a[i]);printf("%d\n\n", maxSubarraySum5(a, n));}fclose(stdin);return 0;}

III 化归 -- 把问题一二转成问题三

看问题一。不难发现，问题一是问题三的二维版。由于一维的问题很好解，自然而然地，如果能把二维的降到一维的来处理，那么，事情就好办了。考虑子问题 OPT(i,j)，其表示所有开始于第 i 行，结束于第 j 行的子矩阵中的最大和。在这些子矩阵中，起止行都一样，只是起止列不相同。也就是说，解 OPT(i,j)，就只是找出某段列，使得其和最大。这就和第三个问题很相似了。为了化了问题三，我们把这些行都叠加到一起，变成一个单行，这就和问题三一样了：找出某个段，使得其和最大。然后，我们在所有 OPT(i,j) 中取最大值，即为原来问题的解。仔细地设计算法，可以使得其时间复杂度为 O(m² n)。

/*最优算法AC 63MS */static int maxSubmatrixSum(int **a, int n){//初始化col_sum, col_sum[i][j][k]为第i和j行之间第k列元素的和int *** col_sum;assert( col_sum = (int ***)malloc(sizeof(int **) * n) );for(int i = 0; i < n; i++)assert( col_sum[i] = (int **)malloc(sizeof(int *) * n) );for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < n; j++){assert( col_sum[i][j] = (int *)malloc(sizeof(int) * n) );memset(col_sum[i][j], 0, sizeof(int) * n);}}//计算第0和j(>=1)行之间第k列的和for(int k = 0; k < n; k++){col_sum[0][0][k] = a[0][k];//初始化col_sum[0][0][k]为首行数据for(int j = 1; j < n; j++)col_sum[0][j][k] = col_sum[0][j - 1][k] + a[j][k];//!!!}//计算第i和j行之间第k列的和for(int k = 0; k < n; k++){for(int i = 1; i < n; i++)for(int j = i; j < n; j++)col_sum[i][j][k] = col_sum[i - 1][j][k] - a[i - 1][k];}//计算最大子矩阵和int max_mat_sum = INT_MIN;for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = i; j < n; j++){int row_sum = 0;//第i和j行之间最大行array和（压缩矩阵）for(int k = 0; k < n; k++){row_sum += col_sum[i][j][k];if(row_sum < 0)row_sum = 0;if(row_sum > max_mat_sum)max_mat_sum = row_sum;}}}return max_mat_sum;}

//***************************************************************************************///*编程之美2.15 —— 求二维数组矩阵的元素之和最大子矩阵\poj 1050皮皮 2014-9-4*///***************************************************************************************/#include <stdio.h>#include <assert.h>#include <malloc.h>#include <limits.h>#include <string.h>int main(){assert( freopen("BOP\\maxSubmatrixSum.in", "r", stdin) );//int cases;//测试案例数目//scanf("%d", &cases);//while(cases--){int n;//每个案例中matrix维度scanf("%d", &n);int **a = (int **)malloc(sizeof(int*) * n);for(int i = 0; i < n; i++)a[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * n);for(int i = 0; i < n; i++)for(int j = 0; j < n; j++)scanf("%d", &a[i][j]);//printf("%d\n", maxSubmatrixSum1(a, n) );//printf("%d\n", maxSubmatrixSum2(a, n) );printf("%d\n", maxSubmatrixSum(a, n) );/*}*/fclose(stdin);return 0;}

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1. opt = 0  
2. row_u, row_v, col_u, col_v // record the optimal solution  
3. for i from 1 to m  
4.     line = {0,0,...,0}  
5.     for j from i to m  
6.         for k from 1 to n  
7.             line[k] = line[k] + x[j,k] // add row j to line  
8.         end for  
9.         (max,max_u,max_v) = solve maximum subarray problem one line[1..n]  
10.         if opt < max then  
11.             opt = max  
12.             col_u = max_u  
13.             col_v = max_v  
14.             row_u = i;  
15.             row_v = j;  
16.     end for  
17. end for  
18. return opt, row_u, row_v, col_u, col_v  

对于问题二，类似的转化方法，只是在做行叠加时，如果都是 0 或 1，则为1，否则，为 -1。不再穆赘述。

IV 最大长方形（有问题？）

在直方图中，一个长方形由其左边界和右边界决定，其最大可能的高度由两者中的最小者决定。记 R(i,j) 为由第 i 个直方柱为左边界，第 j 个直方柱确定的面积最大的长方形。如果 R(i,j) 的面积最大，那么，第 i 个直方柱比第 i-1 个直方柱（如果存在的话）要高，而 第 j 个直方柱的高度也比第 j+1 个的要高，否则，由 R(i,j+1) 或 R(i-1,j) 的面积比 R(i,j) 还要大，这违背了 R(i,j) 的最优性。根据这个观察，我们从第1个直方柱开始，寻找第一个 i, 使得直方柱 i 的高度比 i+1 的大，则 i 是一个可能的右边界，而 i 之前的每一根直方柱都有可能是左边界（因为 i 是第一个比 i + 1 高的直方柱，所以，在 i 之前的是一个上升的直方柱序列，每一根都比前一根要高）。这时，我们计算前面所有可能的长方形的面积，并跟当前已知的最大值进行比较，并更新当前已知的最大值（如有必要的话）。然后，我们继续向前搜索第二个这样的 i 。重复这个过程，直到最后一根直方柱。这样，我们已经遍历了所有可能是最优解的长方形，并取了其中的最大值，因此，该算法是正确的。

至于时间复杂度，似乎还不太明显。对每个直方柱，我们通过跟后一个进行比较就知道其是否为一个可能的右边界。如果是，则需要对前面的一个上升序列的每个直方住计算其和 i 确定的最大长方形的面积，这个上升序列最差情况下似乎有 O(n) 长，时间复杂度最差似乎要 O(n² )。其实不然，只要注意到，每个可能的左边界只会被计算一次，因此，总的时间复杂度为 O(n)。我们使用一个栈来保存前面的上升直方柱序列，当遇到一个可能的右边界时，把这些可能的左边界都弹出来，并计算其和右边界确定的长方形面积。显然，每个可能的左边界只会放栈一次。

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1. max = 0  
2. u = v = 0  
3. for i from 1 to n+1  
4.     h = i == n+1 ? 0 : bar[i].height  
5.     if stack is empty, or h >= stack[top].height then  
6.         push bar[i] into stack  //b.index++?
7.     else  
8.         repeat  
9.             pop the top bar in stack to b  
10.             area = b.height * (i-b.index)  
11.             if max < area then  
12.                 max = area  
13.                 u = b.index  
14.                 v = i-1  
15.             end if  
16.         until stack is empty or h > stack[top].height  
17.     end if  
18. end for  
19. return max, u, v  

V 化归 -- 把问题二转成问题四

依然是先考虑 1-聚类。从最后一行开始向上，某个列上的连续的 1 可以看做一个直方柱，直到碰到 0 或矩阵边界。而最大的1-聚类正是该“直方图”上的最大长方形。因此，我们可以用 OPT(i) 来表示终止于行 i 的最大的 1-聚类。这样，一共有 O(m) 个子问题，而每个子问题可以上面的方法解，时间复杂度为 O(n)，因此总的时间复杂度为 O(mn)！不过，前提时，对每个子问题，我们可以只用 O(n) 的时间转换成一个“直方图”。事实上，除了最后一行开始，我们可以利用 OPT(i) 的直方图来构造 OPT(i-1) 的直方图，并且在整个过程中，每个元素只需要被计算一次即可。

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1. opt = 0  
2. row_u, row_v, col_u, col_v // the starting and ending of row and column of optimal solution, respectively  
3. bar = [0,0,...,0]  
4. for i from m to 1  
5.     for j from 1 to n  
6.         if i != m and x[i+1,j] = 1 then bar[j] = bar[j]-1  
7.         else  
8.             k = i  
9.             repeat  
10.                 bar[j] = bar[j]+1  
11.                 k = k-1  
12.             until k < 1 or x[k,j] = 0  
13.         end if  
14.     end for  
15.     (max,u,v) = solve maximum rectangle in bar  
16.     if opt < max then  
17.         opt = max  
18.         col_u = u  
19.         col_v = v  
20.         row_u = i - the height of the returned rectangle + 1  
21.         row_v = i  
22.     end if  
23. end for  
24. return opt, row_u, row_v, col_u, col_v  

这个解法相比上面的动态规划解要优美得多，而且时间复杂度更低！把一些比较难的或者维度比较高的问题化归到低维或经典的问题，往往可以得到意想不到的更好的解。

from:

http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/39048485

ref:

编程之美读书笔记2.15 - 子数组之和的最大值（二维）

http://blog.csdn.net/linulysses/article/details/5594141