后缀数组da函数和calheight函数注释详解

来源:互联网 发布:湖北麻将源码 编辑:程序博客网 时间:2024/06/20 00:31
int wa[maxn],wb[maxn],wv[maxn],ws[maxn];
int cmp(int *r,int a,int b,int l)
{return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];}  //就像论文所说,由于末尾填了0,所以如果r[a]==r[b](实际是y[a]==y[b]),说明待合并的两个长为j的字符串,前面那个一定不包含末尾0,因而后面这个的起始位置至多在0的位置,不会再靠后了,因而不会产生数组越界。
//da函数的参数n代表字符串中字符的个数,这里的n里面是包括人为在字符串末尾添加的那个0的,但论文的图示上并没有画出字符串末尾的0。
//da函数的参数m代表字符串中字符的取值范围,是基数排序的一个参数,如果原序列都是字母可以直接取128,如果原序列本身都是整数的话,则m可以取比最大的整数大1的值。

void da(int *r,int *sa,int n,int m)
{
    int i,j,p,*x=wa,*y=wb,*t;
    //以下四行代码是把各个字符(也即长度为1的字符串)进行基数排序,如果不理解为什么这样可以达到基数排序的效果,不妨自己实际用纸笔模拟一下,我最初也是这样才理解的。
    for(i=0;i<m;i++) ws[i]=0;
    for(i=0;i<n;i++) ws[x[i]=r[i]]++;  //x[]里面本意是保存各个后缀的rank值的,但是这里并没有去存储rank值,因为后续只是涉及x[]的比较工作,因而这一步可以不用存储真实的rank值,能够反映相对的大小即可。
    for(i=1;i<m;i++) ws[i]+=ws[i-1];
    for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--ws[x[i]]]=i;  //i之所以从n-1开始循环,是为了保证在当字符串中有相等的字符串时,默认靠前的字符串更小一些。
    //下面这层循环中p代表rank值不用的字符串的数量,如果p达到n,那么各个字符串的大小关系就已经明了了。
    //j代表当前待合并的字符串的长度,每次将两个长度为j的字符串合并成一个长度为2*j的字符串,当然如果包含字符串末尾具体则数值应另当别论,但思想是一样的。
    //m同样代表基数排序的元素的取值范围

    for(j=1,p=1;p<n;j*=2,m=p)
    {
        //以下两行代码实现了对第二关键字的排序
        for(p=0,i=n-j;i<n;i++) y[p++]=i;  //结合论文的插图,我们可以看到位置在第n-j至n的元素的第二关键字都为0,因此如果按第二关键字排序,必然这些元素都是排在前面的。
        for(i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=j) y[p++]=sa[i]-j;  //结合论文的插图,我们可以看到,下面一行的第二关键字不为0的部分都是根据上面一行的排序结果得到的,且上一行中只有sa[i]>=j的第sa[i]个字符串(这里以及后面指的“第?个字符串”不是按字典序排名来的,是按照首字符在字符串中的位置来的)的rank才会作为下一行的第sa[i]-j个字符串的第二关键字,而且显然按sa[i]的顺序rank[sa[i]]是递增的,因此完成了对剩余的元素的第二关键字的排序。
        //第二关键字基数排序完成后,y[]里存放的是按第二关键字排序的字符串下标

        for(i=0;i<n;i++) wv[i]=x[y[i]];  //这里相当于提取出每个字符串的第一关键字(前面说过了x[]是保存rank值的,也就是字符串的第一关键字),放到wv[]里面是方便后面的使用
        //以下四行代码是按第一关键字进行的基数排序

        for(i=0;i<m;i++) ws[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++) ws[wv[i]]++;
        for(i=1;i<m;i++) ws[i]+=ws[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--ws[wv[i]]]=y[i];  //i之所以从n-1开始循环,含义同上,同时注意这里是y[i],因为y[i]里面才存着字符串的下标
        //下面两行就是计算合并之后的rank值了,而合并之后的rank值应该存在x[]里面,但我们计算的时候又必须用到上一层的rank值,也就是现在x[]里面放的东西,如果我既要从x[]里面拿,又要向x[]里面放,怎么办?当然是先把x[]的东西放到另外一个数组里面,省得乱了。这里就是用交换指针的方式,高效实现了将x[]的东西“复制”到了y[]中。

        for(t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0,i=1;i<n;i++)
        x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++; //这里就是用x[]存储计算出的各字符串rank的值了,记得我们前面说过,计算sa[]值的时候如果字符串相同是默认前面的更小的,但这里计算rank的时候必须将相同的字符串看作有相同的rank,要不然p==n之后就不会再循环啦。
    }
    return;
}


//能够线性计算height[]的值的关键在于h[](height[rank[]])的性质,即h[i]>=h[i-1]-1,下面具体分析一下这个不等式的由来。
//论文里面证明的部分一开始看得我云里雾里,后来画了一下终于搞明白了,我们先把要证什么放在这:对于第i个后缀,设j=sa[rank[i] - 1],也就是说j是i的按排名来的上一个字符串,按定义来i和j的最长公共前缀就是height[rank[i]],我们现在就是想知道height[rank[i]]至少是多少,而我们要证明的就是至少是height[rank[i-1]]-1。
//好啦,现在开始证吧。
//首先我们不妨设第i-1个字符串(这里以及后面指的“第?个字符串”不是按字典序排名来的,是按照首字符在字符串中的位置来的)按字典序排名来的前面的那个字符串是第k个字符串,注意k不一定是i-2,因为第k个字符串是按字典序排名来的i-1前面那个,并不是指在原字符串中位置在i-1前面的那个第i-2个字符串。
//这时,依据height[]的定义,第k个字符串和第i-1个字符串的公共前缀自然是height[rank[i-1]],现在先讨论一下第k+1个字符串和第i个字符串的关系。
//第一种情况,第k个字符串和第i-1个字符串的首字符不同,那么第k+1个字符串的排名既可能在i的前面,也可能在i的后面,但没有关系,因为height[rank[i-1]]就是0了呀,那么无论height[rank[i]]是多少都会有height[rank[i]]>=height[rank[i-1]]-1,也就是h[i]>=h[i-1]-1。
//第二种情况,第k个字符串和第i-1个字符串的首字符相同,那么由于第k+1个字符串就是第k个字符串去掉首字符得到的,第i个字符串也是第i-1个字符串去掉首字符得到的,那么显然第k+1个字符串要排在第i个字符串前面,要么就产生矛盾了。同时,第k个字符串和第i-1个字符串的最长公共前缀是height[rank[i-1]],那么自然第k+1个字符串和第i个字符串的最长公共前缀就是height[rank[i-1]]-1。
//到此为止,第二种情况的证明还没有完,我们可以试想一下,对于比第i个字符串的字典序排名更靠前的那些字符串,谁和第i个字符串的相似度最高(这里说的相似度是指最长公共前缀的长度)?显然是排名紧邻第i个字符串的那个字符串了呀,即sa[rank[i]-1]。也就是说sa[rank[i]]和sa[rank[i]-1]的最长公共前缀至少是height[rank[i-1]]-1,那么就有height[rank[i]]>=height[rank[i-1]]-1,也即h[i]>=h[i-1]-1。
//证明完这些之后,下面的代码也就比较容易看懂了。

int rank[maxn],height[maxn];
void calheight(int *r,int *sa,int n)
{
    int i,j,k=0;
    for(i=1;i<=n;i++) rank[sa[i]]=i;  //计算每个字符串的字典序排名
    for(i=0;i<n;height[rank[i++]]=k)  //将计算出来的height[rank[i]]的值,也就是k,赋给height[rank[i]]。i是由0循环到n-1,但实际上height[]计算的顺序是由height[rank[0]]计算到height[rank[n-1]]。
    for(k?k--:0,j=sa[rank[i]-1];r[i+k]==r[j+k];k++);  //上一次的计算结果是k,首先判断一下如果k是0的话,那么k就不用动了,从首字符开始看第i个字符串和第j个字符串前面有多少是相同的,如果k不为0,按我们前面证明的,最长公共前缀的长度至少是k-1,于是从首字符后面k-1个字符开始检查起即可。
    return;
}


//最后再说明一点,就是关于da和calheight的调用问题,实际上在“小罗”写的源程序里面是如下调用的,这样我们也能清晰的看到da和calheight中的int n不是一个概念,同时height数组的值的有效范围是height[1]~height[n]其中height[1]=0,原因就是sa[0]实际上就是我们补的那个0,所以sa[1]和sa[0]的最长公共前缀自然是0。
da(r,sa,n+1,128);
calheight(r,sa,n);
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