机器学习算法与Python实践之（七）逻辑回归（Logistic Regression

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机器学习算法与Python实践之（七）逻辑回归（Logistic Regression）

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       机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考 《机器学习实战》 这本书。因为自己想学习Python，然后也想对一些机器学习算法加深下了解，所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍，所以就参考这本书的过程来学习了。

       这节学习的是逻辑回归（Logistic Regression），也算进入了比较正统的机器学习算法。啥叫正统呢？我概念里面机器学习算法一般是这样一个步骤：

1）对于一个问题，我们用数学语言来描述它，然后建立一个模型，例如回归模型或者分类模型等来描述这个问题；

2）通过最大似然、最大后验概率或者最小化分类误差等等建立模型的代价函数，也就是一个最优化问题。找到最优化问题的解，也就是能拟合我们的数据的最好的模型参数；

3）然后我们需要求解这个代价函数，找到最优解。这求解也就分很多种情况了：

      a）如果这个优化函数存在解析解。例如我们求最值一般是对代价函数求导，找到导数为0的点，也就是最大值或者最小值的地方了。如果代价函数能简单求导，并且求导后为0的式子存在解析解，那么我们就可以直接得到最优的参数了。

      b）如果式子很难求导，例如函数里面存在隐含的变量或者变量相互间存在耦合，也就互相依赖的情况。或者求导后式子得不到解释解，例如未知参数的个数大于已知方程组的个数等。这时候我们就需要借助迭代算法来一步一步找到最有解了。迭代是个很神奇的东西，它将远大的目标（也就是找到最优的解，例如爬上山顶）记在心上，然后给自己定个短期目标（也就是每走一步，就离远大的目标更近一点），脚踏实地，心无旁贷，像个蜗牛一样，一步一步往上爬，支撑它的唯一信念是：只要我每一步都爬高一点，那么积跬步，肯定能达到自己人生的巅峰，尽享山登绝顶我为峰的豪迈与忘我。

       另外需要考虑的情况是，如果代价函数是凸函数，那么就存在全局最优解，方圆五百里就只有一个山峰，那命中注定了，它就是你要找的唯一了。但如果是非凸的，那么就会有很多局部最优的解，有一望无际的山峰，人的视野是伟大的也是渺小的，你不知道哪个山峰才是最高的，可能你会被命运作弄，很无辜的陷入一个局部最优里面，坐井观天，以为自己找到的就是最好的。没想到山外有山，人外有人，光芒总在未知的远处默默绽放。但也许命运眷恋善良的你，带给你的总是最好的归宿。也有很多不信命的人，觉得人定胜天的人，誓要找到最好的，否则不会罢休，永不向命运妥协，除非自己有一天累了，倒下了，也要靠剩下的一口气，迈出一口气能支撑的路程。好悲凉啊……哈哈。

        呃，不知道扯那去了，也不知道自己说的有没有错，有错的话请大家不吝指正。那下面就进入正题吧。正如上面所述，逻辑回归就是这样的一个过程：面对一个回归或者分类问题，建立代价函数，然后通过优化方法迭代求解出最优的模型参数，然后测试验证我们这个求解的模型的好坏，冥冥人海，滚滚红尘，我们是否找到了最适合的那个她。

一、逻辑回归（LogisticRegression）

       Logistic regression （逻辑回归）是当前业界比较常用的机器学习方法，用于估计某种事物的可能性。之前在经典之作《数学之美》中也看到了它用于广告预测，也就是根据某广告被用户点击的可能性，把最可能被用户点击的广告摆在用户能看到的地方，然后叫他“你点我啊！”用户点了，你就有钱收了。这就是为什么我们的电脑现在广告泛滥的原因了。

       还有类似的某用户购买某商品的可能性，某病人患有某种疾病的可能性啊等等。这个世界是随机的（当然了，人为的确定性系统除外，但也有可能有噪声或产生错误的结果，只是这个错误发生的可能性太小了，小到千万年不遇，小到忽略不计而已），所以万物的发生都可以用可能性或者几率（Odds）来表达。“几率”指的是某事物发生的可能性与不发生的可能性的比值。

       Logistic regression可以用来回归，也可以用来分类，主要是二分类。还记得上几节讲的支持向量机SVM吗？它就是个二分类的例如，它可以将两个不同类别的样本给分开，思想是找到最能区分它们的那个分类超平面。但当你给一个新的样本给它，它能够给你的只有一个答案，你这个样本是正类还是负类。例如你问SVM，某个女生是否喜欢你，它只会回答你喜欢或者不喜欢。这对我们来说，显得太粗鲁了，要不希望，要不绝望，这都不利于身心健康。那如果它可以告诉我，她很喜欢、有一点喜欢、不怎么喜欢或者一点都不喜欢，你想都不用想了等等，告诉你她有49%的几率喜欢你，总比直接说她不喜欢你，来得温柔。而且还提供了额外的信息，她来到你的身边你有多少希望，你得再努力多少倍，知己知彼百战百胜，哈哈。Logistic regression就是这么温柔的，它给我们提供的就是你的这个样本属于正类的可能性是多少。

       还得来点数学。（更多的理解，请参阅参考文献）假设我们的样本是{ x , y}，y是0或者1，表示正类或者负类， x 是我们的m维的样本特征向量。那么这个样本 x 属于正类，也就是y=1的“概率”可以通过下面的逻辑函数来表示：

       这里 θ 是模型参数，也就是回归系数，σ是sigmoid函数。实际上这个函数是由下面的对数几率（也就是 x 属于正类的可能性和负类的可能性的比值的对数）变换得到的：

       换句话说，y也就是我们关系的变量，例如她喜不喜欢你，与多个自变量（因素）有关，例如你人品怎样、车子是两个轮的还是四个轮的、长得胜过潘安还是和犀利哥有得一拼、有千尺豪宅还是三寸茅庐等等，我们把这些因素表示为x 1 , x 2 ,…, x m 。那这个女的怎样考量这些因素呢？最快的方式就是把这些因素的得分都加起来，最后得到的和越大，就表示越喜欢。但每个人心里其实都有一杆称，每个人考虑的因素不同，萝卜青菜，各有所爱嘛。例如这个女生更看中你的人品，人品的权值是0.6，不看重你有没有钱，没钱了一起努力奋斗，那么有没有钱的权值是0.001等等。我们将这些对应x 1 , x 2 ,…, x m 的权值叫做回归系数，表达为θ 1 , θ 2 ,…, θ m 。他们的加权和就是你的总得分了。请选择你的心仪男生，非诚勿扰！哈哈。

       所以说上面的logistic回归就是一个线性分类模型，它与线性回归的不同点在于：为了将线性回归输出的很大范围的数，例如从负无穷到正无穷，压缩到0和1之间，这样的输出值表达为“可能性”才能说服广大民众。当然了，把大值压缩到这个范围还有个很好的好处，就是可以消除特别冒尖的变量的影响（不知道理解的是否正确）。而实现这个伟大的功能其实就只需要平凡一举，也就是在输出加一个logistic函数。另外，对于二分类来说，可以简单的认为：如果样本 x 属于正类的概率大于0.5，那么就判定它是正类，否则就是负类。实际上，SVM的类概率就是样本到边界的距离，这个活实际上就让logistic regression给干了。

       所以说，LogisticRegression 就是一个被logistic方程归一化后的线性回归，仅此而已。

好了，关于LR的八卦就聊到这。归入到正统的机器学习框架下，模型选好了，只是模型的参数θ还是未知的，我们需要用我们收集到的数据来训练求解得到它。那我们下一步要做的事情就是建立代价函数了。

        LogisticRegression最基本的学习算法是最大似然。啥叫最大似然，可以看看我的另一篇博文“ 从最大似然到EM算法浅解 ”。

        假设我们有n个独立的训练样本{( x 1 , y 1 ) ,( x 2 , y 2 ),…, ( x n , y n )}，y={0, 1}。那每一个观察到的样本( x i , y i )出现的概率是：

 

        上面为什么是这样呢？当y=1的时候，后面那一项是不是没有了，那就只剩下x属于1类的概率，当y=0的时候，第一项是不是没有了，那就只剩下后面那个x属于0的概率（1减去x属于1的概率）。所以不管y是0还是1，上面得到的数，都是(x, y)出现的概率。那我们的整个样本集，也就是n个独立的样本出现的似然函数为（因为每个样本都是独立的，所以n个样本出现的概率就是他们各自出现的概率相乘）：

        那最大似然法就是求模型中使得似然函数最大的系数取值θ*。这个最大似然就是我们的代价函数（cost function）了。

       OK，那代价函数有了，我们下一步要做的就是优化求解了。我们先尝试对上面的代价函数求导，看导数为0的时候可不可以解出来，也就是有没有解析解，有这个解的时候，就皆大欢喜了，一步到位。如果没有就需要通过迭代了，耗时耗力。

       我们先变换下L(θ)：取自然对数，然后化简（不要看到一堆公式就害怕哦，很简单的哦，只需要耐心一点点，自己动手推推就知道了。注：有 x i 的时候，表示它是第i个样本，下面没有做区分了，相信你的眼睛是雪亮的），得到：

       这时候，用L(θ)对θ求导，得到：

       然后我们令该导数为0，你会很失望的发现，它无法解析求解。不信你就去尝试一下。所以没办法了，只能借助高大上的迭代来搞定了。这里选用了经典的梯度下降算法。

二、优化求解

2.1、梯度下降(gradient descent)

        Gradient descent 又叫 steepest descent，是利用一阶的梯度信息找到函数局部最优解的一种方法，也是机器学习里面最简单最常用的一种优化方法。它的思想很简单，和我开篇说的那样，要找最小值，我只需要每一步都往下走（也就是每一步都可以让代价函数小一点），然后不断的走，那肯定能走到最小值的地方，例如下图所示：

      但，我同时也需要更快的到达最小值啊，怎么办呢？我们需要每一步都找下坡最快的地方，也就是每一步我走某个方向，都比走其他方法，要离最小值更近。而这个下坡最快的方向，就是梯度的负方向了。

对logistic Regression来说，梯度下降算法新鲜出炉，如下：

      其中，参数α叫学习率，就是每一步走多远，这个参数蛮关键的。如果设置的太多，那么很容易就在最优值附加徘徊，因为你步伐太大了。例如要从广州到上海，但是你的一步的距离就是广州到北京那么远，没有半步的说法，自己能迈那么大步，是幸运呢？还是不幸呢？事物总有两面性嘛，它带来的好处是能很快的从远离最优值的地方回到最优值附近，只是在最优值附近的时候，它有心无力了。但如果设置的太小，那收敛速度就太慢了，向蜗牛一样，虽然会落在最优的点，但是这速度如果是猴年马月，我们也没这耐心啊。所以有的改进就是在这个学习率这个地方下刀子的。我开始迭代是，学习率大，慢慢的接近最优值的时候，我的学习率变小就可以了。所谓采两者之精华啊！这个优化具体见2.3 。

       梯度下降算法的伪代码如下：

################################################

初始化回归系数为1

重复下面步骤直到收敛{

        计算整个数据集的梯度

        使用alpha x gradient来更新回归系数

}

返回回归系数值

################################################

2.2、随机梯度下降SGD (stochastic gradient descent)

      梯度下降算法在每次更新回归系数的时候都需要遍历整个数据集（计算整个数据集的回归误差），该方法对小数据集尚可。但当遇到有数十亿样本和成千上万的特征时，就有点力不从心了，它的计算复杂度太高。改进的方法是一次仅用一个样本点（的回归误差）来更新回归系数。这个方法叫随机梯度下降算法。由于可以在新的样本到来的时候对分类器进行增量的更新（假设我们已经在数据库A上训练好一个分类器h了，那新来一个样本x。对非增量学习算法来说，我们需要把x和数据库A混在一起，组成新的数据库B，再重新训练新的分类器。但对增量学习算法，我们只需要用新样本x来更新已有分类器h的参数即可），所以它属于在线学习算法。与在线学习相对应，一次处理整个数据集的叫“批处理”。

        随机梯度下降算法的伪代码如下： 

################################################

初始化回归系数为1

重复下面步骤直到收敛{

        对数据集中每个样本

               计算该样本的梯度

                使用alpha xgradient来更新回归系数

 }

返回回归系数值

##################################

2.3、改进的随机梯度下降

      评价一个优化算法的优劣主要是看它是否收敛，也就是说参数是否达到稳定值，是否还会不断的变化？收敛速度是否快？

       上图展示了随机梯度下降算法在200次迭代中（请先看第三和第四节再回来看这里。我们的数据库有100个二维样本，每个样本都对系数调整一次，所以共有200*100=20000次调整）三个回归系数的变化过程。其中系数X2经过50次迭代就达到了稳定值。但系数X1和X0到100次迭代后稳定。而且可恨的是系数X1和X2还在很调皮的周期波动，迭代次数很大了，心还停不下来。产生这个现象的原因是存在一些无法正确分类的样本点，也就是我们的数据集并非线性可分，但我们的logistic regression是线性分类模型，对非线性可分情况无能为力。然而我们的优化程序并没能意识到这些不正常的样本点，还一视同仁的对待，调整系数去减少对这些样本的分类误差，从而导致了在每次迭代时引发系数的剧烈改变。对我们来说，我们期待算法能避免来回波动，从而快速稳定和收敛到某个值。

       对随机梯度下降算法，我们做两处改进来避免上述的波动问题：

1）在每次迭代时，调整更新步长alpha的值。随着迭代的进行，alpha越来越小，这会缓解系数的高频波动（也就是每次迭代系数改变得太大，跳的跨度太大）。当然了，为了避免alpha随着迭代不断减小到接近于0（这时候，系数几乎没有调整，那么迭代也没有意义了），我们约束alpha一定大于一个稍微大点的常数项，具体见代码。

2）每次迭代，改变样本的优化顺序。也就是随机选择样本来更新回归系数。这样做可以减少周期性的波动，因为样本顺序的改变，使得每次迭代不再形成周期性。

       改进的随机梯度下降算法的伪代码如下：

################################################

初始化回归系数为1

重复下面步骤直到收敛{

       对随机遍历的数据集中的每个样本

              随着迭代的逐渐进行，减小alpha的值

              计算该样本的梯度

              使用alpha x gradient来更新回归系数

    }

返回回归系数值

################################################

       比较原始的随机梯度下降和改进后的梯度下降，可以看到两点不同：

1）系数不再出现周期性波动。2）系数可以很快的稳定下来，也就是快速收敛。这里只迭代了20次就收敛了。而上面的随机梯度下降需要迭代200次才能稳定。

三、Python实现

      我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的 博文 。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方，如果有，还望大家指正（每次的运行结果都有可能不同）。里面我写了个可视化结果的函数，但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码：

logRegression.py

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1. #################################################   
2. # logRegression: Logistic Regression   
3. # Author : zouxy   
4. # Date   : 2014-03-02   
5. # HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09   
6. # Email  : [e-mail]   
7. #################################################   
8.   
9. from  numpy  import  *  
10. import  matplotlib.pyplot as plt  
11. import  time  
12.   
13.   
14. # calculate the sigmoid function   
15. def  sigmoid(inX):  
16.      return   1.0  / ( 1  + exp(-inX))  
17.   
18.   
19.   
20. # input: train_x is a mat datatype, each row stands for one sample   
21.   
22.   
23. def  trainLogRegres(train_x, train_y, opts):  
24.      # calculate training time   
25.     startTime = time.time()  
26.   
27.     numSamples, numFeatures = shape(train_x)  
28.     alpha = opts[ 'alpha' ]; maxIter = opts[ 'maxIter' ]  
29.     weights = ones((numFeatures,  1 ))  
30.   
31.      # optimize through gradient descent algorilthm   
32.      for  k  in  range(maxIter):  
33.          if  opts[ 'optimizeType' ] ==  'gradDescent' :  # gradient descent algorilthm   
34.             output = sigmoid(train_x * weights)  
35.             error = train_y - output  
36.             weights = weights + alpha * train_x.transpose() * error  
37.          elif  opts[ 'optimizeType' ] ==  'stocGradDescent' :  # stochastic gradient descent   
38.              for  i  in  range(numSamples):  
39.                 output = sigmoid(train_x[i, :] * weights)  
40.                 error = train_y[i,  0 ] - output  
41.                 weights = weights + alpha * train_x[i, :].transpose() * error  
42.          elif  opts[ 'optimizeType' ] ==  'smoothStocGradDescent' :  # smooth stochastic gradient descent   
43.                
44.             dataIndex = range(numSamples)  
45.              for  i  in  range(numSamples):  
46.                 alpha =  4.0  / ( 1.0  + k + i) +  0.01   
47.                 randIndex = int(random.uniform( 0 , len(dataIndex)))  
48.                 output = sigmoid(train_x[randIndex, :] * weights)  
49.                 error = train_y[randIndex,  0 ] - output  
50.                 weights = weights + alpha * train_x[randIndex, :].transpose() * error  
51.                  del (dataIndex[randIndex])  # during one interation, delete the optimized sample   
52.          else :  
53.              raise  NameError( 'Not support optimize method type!' )  
54.       
55.   
56.      print   'Congratulations, training complete! Took %fs!'  % (time.time() - startTime)  
57.      return  weights  
58.   
59.   
60. # test your trained Logistic Regression model given test set   
61. def  testLogRegres(weights, test_x, test_y):  
62.     numSamples, numFeatures = shape(test_x)  
63.     matchCount =  0   
64.      for  i  in  xrange(numSamples):  
65.         predict = sigmoid(test_x[i, :] * weights)[ 0 ,  0 ] >  0.5   
66.          if  predict == bool(test_y[i,  0 ]):  
67.             matchCount +=  1   
68.     accuracy = float(matchCount) / numSamples  
69.      return  accuracy  
70.   
71.   
72.   
73. def  showLogRegres(weights, train_x, train_y):  
74.      # notice: train_x and train_y is mat datatype   
75.     numSamples, numFeatures = shape(train_x)  
76.      if  numFeatures !=  3 :  
77.          print   "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"   
78.          return   1   
79.   
80.      # draw all samples   
81.      for  i  in  xrange(numSamples):  
82.          if  int(train_y[i,  0 ]) ==  0 :  
83.             plt.plot(train_x[i,  1 ], train_x[i,  2 ],  'or' )  
84.          elif  int(train_y[i,  0 ]) ==  1 :  
85.             plt.plot(train_x[i,  1 ], train_x[i,  2 ],  'ob' )  
86.   
87.      # draw the classify line   
88.     min_x = min(train_x[:,  1 ])[ 0 ,  0 ]  
89.     max_x = max(train_x[:,  1 ])[ 0 ,  0 ]  
90.     weights = weights.getA()   # convert mat to array   
91.     y_min_x = float(-weights[ 0 ] - weights[ 1 ] * min_x) / weights[ 2 ]  
92.     y_max_x = float(-weights[ 0 ] - weights[ 1 ] * max_x) / weights[ 2 ]  
93.     plt.plot([min_x, max_x], [y_min_x, y_max_x],  '-g' )  
94.     plt.xlabel( 'X1' ); plt.ylabel( 'X2' )  
95.     plt.show()  

四、测试结果

        测试代码：

test_logRegression.py

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1. #################################################   
2. # logRegression: Logistic Regression   
3. # Author : zouxy   
4. # Date   : 2014-03-02   
5. # HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09   
6. # Email  : [e-mail]   
7. #################################################   
8.   
9. from  numpy  import  *  
10. import  matplotlib.pyplot as plt  
11. import  time  
12.   
13. def  loadData():  
14.     train_x = []  
15.     train_y = []  
16.     fileIn = open( 'E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt' )  
17.      for  line  in  fileIn.readlines():  
18.         lineArr = line.strip().split()  
19.         train_x.append([ 1.0 , float(lineArr[ 0 ]), float(lineArr[ 1 ])])  
20.         train_y.append(float(lineArr[ 2 ]))  
21.      return  mat(train_x), mat(train_y).transpose()  
22.   
23.   
24. ## step 1: load data   
25. print   "step 1: load data..."   
26. train_x, train_y = loadData()  
27. test_x = train_x; test_y = train_y  
28.   
29. ## step 2: training...   
30. print   "step 2: training..."   
31. opts = { 'alpha' :  0.01 ,  'maxIter' :  20 ,  'optimizeType' :  'smoothStocGradDescent' }  
32. optimalWeights = trainLogRegres(train_x, train_y, opts)  
33.   
34. ## step 3: testing   
35. print   "step 3: testing..."   
36. accuracy = testLogRegres(optimalWeights, test_x, test_y)  
37.   
38. ## step 4: show the result   
39. print   "step 4: show the result..."     
40. print   'The classify accuracy is: %.3f%%'  % (accuracy *  100 )  
41. showLogRegres(optimalWeights, train_x, train_y)   

        测试数据是二维的，共100个样本。有2个类。如下：

testSet.txt

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1. - 0.017612     14.053064     0   
2. - 1.395634     4.662541      1   
3. - 0.752157     6.538620      0   
4. - 1.322371     7.152853      0   
5. 0.423363      11.054677     0   
6. 0.406704      7.067335      1   
7. 0.667394      12.741452     0   
8. - 2.460150     6.866805      1   
9. 0.569411      9.548755      0   
10. - 0.026632     10.427743     0   
11. 0.850433      6.920334      1   
12. 1.347183      13.175500     0   
13. 1.176813      3.167020      1   
14. - 1.781871     9.097953      0   
15. - 0.566606     5.749003      1   
16. 0.931635      1.589505      1   
17. - 0.024205     6.151823      1   
18. - 0.036453     2.690988      1   
19. - 0.196949     0.444165      1   
20. 1.014459      5.754399      1   
21. 1.985298      3.230619      1   
22. - 1.693453    - 0.557540     1   
23. - 0.576525     11.778922     0   
24. - 0.346811    - 1.678730     1   
25. - 2.124484     2.672471      1   
26. 1.217916      9.597015      0   
27. - 0.733928     9.098687      0   
28. - 3.642001    - 1.618087     1   
29. 0.315985      3.523953      1   
30. 1.416614      9.619232      0   
31. - 0.386323     3.989286      1   
32. 0.556921      8.294984      1   
33. 1.224863      11.587360     0   
34. - 1.347803    - 2.406051     1   
35. 1.196604      4.951851      1   
36. 0.275221      9.543647      0   
37. 0.470575      9.332488      0   
38. - 1.889567     9.542662      0   
39. - 1.527893     12.150579     0   
40. - 1.185247     11.309318     0   
41. - 0.445678     3.297303      1   
42. 1.042222      6.105155      1   
43. - 0.618787     10.320986     0   
44. 1.152083      0.548467      1   
45. 0.828534      2.676045      1   
46. - 1.237728     10.549033     0   
47. - 0.683565    - 2.166125     1   
48. 0.229456      5.921938      1   
49. - 0.959885     11.555336     0   
50. 0.492911      10.993324     0   
51. 0.184992      8.721488      0   
52. - 0.355715     10.325976     0   
53. - 0.397822     8.058397      0   
54. 0.824839      13.730343     0   
55. 1.507278      5.027866      1   
56. 0.099671      6.835839      1   
57. - 0.344008     10.717485     0   
58. 1.785928      7.718645      1   
59. - 0.918801     11.560217     0   
60. - 0.364009     4.747300      1   
61. - 0.841722     4.119083      1   
62. 0.490426      1.960539      1   
63. - 0.007194     9.075792      0   
64. 0.356107      12.447863     0   
65. 0.342578      12.281162     0   
66. - 0.810823    - 1.466018     1   
67. 2.530777      6.476801      1   
68. 1.296683      11.607559     0   
69. 0.475487      12.040035     0   
70. - 0.783277     11.009725     0   
71. 0.074798      11.023650     0   
72. - 1.337472     0.468339      1   
73. - 0.102781     13.763651     0   
74. - 0.147324     2.874846      1   
75. 0.518389      9.887035      0   
76. 1.015399      7.571882      0   
77. - 1.658086    - 0.027255     1   
78. 1.319944      2.171228      1   
79. 2.056216      5.019981      1   
80. - 0.851633     4.375691      1   
81. - 1.510047     6.061992      0   
82. - 1.076637    - 3.181888     1   
83. 1.821096      10.283990     0   
84. 3.010150      8.401766      1   
85. - 1.099458     1.688274      1   
86. - 0.834872    - 1.733869     1   
87. - 0.846637     3.849075      1   
88. 1.400102      12.628781     0   
89. 1.752842      5.468166      1   
90. 0.078557      0.059736      1   
91. 0.089392     - 0.715300     1   
92. 1.825662      12.693808     0   
93. 0.197445      9.744638      0   
94. 0.126117      0.922311      1   
95. - 0.679797     1.220530      1   
96. 0.677983      2.556666      1   
97. 0.761349      10.693862     0   
98. - 2.168791     0.143632      1   
99. 1.388610      9.341997      0   
100. 0.317029      14.739025     0   

         训练结果：

       (a)梯度下降算法迭代500次。(b)随机梯度下降算法迭代200次。(c)改进的随机梯度下降算法迭代20次。(d)改进的随机梯度下降算法迭代200次。

五、参考文献

[1]  Logisticregression （逻辑回归） 概述

[2]  LogisticRegression 之基础知识准备

[3]  LogisticRegression

原文链接:http://www.tuicool.com/articles/MBnAFbR