买票问题

每张球票50元，现在有2n（1<=n<=18）个球迷排队购票，其中n个手持50元钞票，另外n个手持100元钞票。假设开始售票时售票处没有零钱可以找零。问这2n个人有多少种排队方式，不至使售票处出现找不出零的局面？

卡特兰数: C(2n,n)/(n+1)  1,2,5,.....

递归公式推导过程如下：

把50元当做左括号，100元当做右括号

（{}）{}

当左括号是1，右括号是2时，左边{}为空【f(0)】，右边{}是（3，2n）【f(2n-2)】的递归

当左括号是1，右括号是4时，左边{}为（2,3）【f(2)】，右边{}是（5，2n）【f（2n-4）】的递归

当左括号是1，右括号是k时，左边{}为（2,k-1）【f(k-2)】，右边{}是（k+1，2n）【f（2n-k）】的递归

所以f(n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n-4)+f(4)*f(2n-6)+....+f(2n-2)*f(0);【n是手持50元或者100元钞票的人数】

找到该规律后，可以用动态规划求得

代码如下：

#include <iostream>using namespace std;#include <cstdlib>int s[1000];int f(int n){         if(n == 0)         return s[0] = 1;         if(s[n] > 0)         return s[n];         int sum = 0;         for(int i = 0;i <= 2*n-2;i += 2){              sum += f(i/2)*f((2*n-2-i)/2);         }         s[n] = sum;         return sum;}int main(){    int n;    while(scanf("%d",&n) != EOF){         memset(s,0,sizeof(s));         printf("%d\n",f(n));    }    system("pause");}

所有的排序方式有C（2n,n）

1. 在不合理的排列中，必定在第2m+1位上出现手持100元的人，且前2*m个是合理的

2. 那么在【2m+2,2n】共2n-2m-1个数中有n-m个手持50元的，n-m-1个手持100元的

3. 如果此时【2m+2,2n】的人中，手持100元的和手持50元的相互对换，那么有n-m-1个手持50元，n-m个手持100元的。

4.此时队列中共有m+n-m-1=n-1个手持50元的，共m+1+n-m = n+1个手持100元的人

说明了每个不合理的队列都可以转换成一个【有2n个人排队，n+1个手持100元，n-1个手持50元的排列】

所以答案是C（2n,n） - C(2n，n-1) = C(2n,n)/(n+1)【很容易求得】