POJ 2175 Evacuation Plan 消圈定理

题意：给出N个建筑物的坐标和里面的人数。给出M个防空洞的坐标和能容纳的人数。一个人的花费定义为从他的建筑物到目标防空洞的曼哈顿距离再加1。现在有人已经设计了一个避难方案。要你判断他给出的方案是否是所有人花费最少的解决方案，如果不是，请给出一个花费更小的解决方案（不必是最优）。

思路：首先想到的是利用最小费用流求出最优的方案，来判断当前方案是否是最优方案。这里要注意一点，题目中给出的花费是单位花费，我们在求最小费用的时候，还要再乘以流量。

        但是这样会超时。

        我们注意到题目中，只需要我们求花费更小的方案，而不是最优，可以想到，其实我们这样会多干很多工作，超时的原因就在这儿。

        回想最小费用流证明过程中使用的消圈定理：某个流f是同流量中的最小费用流，当且仅当f的残余网络中不存在负圈。

        在网络流中，负圈的定义为：一个可行的环流，这个环流的总费用为负。

        所以，对于给定的方案，我们可以构造出一个残留网络。对于残留网络，如果我们能够找到一个负圈，那么现在的方案就不是最优的。我们就可以沿这这个负圈推流增广，是费用更小。

       同时，判断有向图中是否有负圈，可以利用SPFA或Floyd算法。

       需要注意的一点是，由于源点必定满流，我们要从汇点开始找负圈。

代码如下：

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>using namespace std;const int MAX = 1000;int N,M;int x[MAX],y[MAX],b[MAX];int p[MAX],q[MAX],c[MAX];int e[MAX][MAX];int g[MAX][MAX];int pre[MAX][MAX];bool used[MAX];void solve(){    int V = N + M + 1;    memset(g,0x3f,sizeof(g));    for(int j = 0; j < M; ++j){        int sum = 0;        for(int i = 0; i < N; ++i){            int c = abs(x[i] - p[j]) + abs(y[i] - q[j]) + 1;            g[i][N + j] = c;            if(e[i][j] > 0) g[N + j][i] = -c;            sum += e[i][j];        }        if(sum > 0)            g[N + M][N + j] = 0;        if(sum < c[j])            g[N + j][N + M] = 0;    }    for(int i = 0; i < V; ++i)        for(int j = 0 ; j < V; ++j)            pre[i][j] = i;    for(int k = 0; k < V; ++k){        for(int i = 0 ; i < V; ++i){            for(int j = 0; j < V; ++j){                if(g[i][j] > g[i][k] + g[k][j]){                    g[i][j] = g[i][k] + g[k][j];                    pre[i][j] = pre[k][j];                    if(i == j && g[i][i] < 0){                        memset(used,0,sizeof(used));                        for(int v = i ; !used[v]; v = pre[i][v]){                            used[v] = true;                            if(v != N + M && pre[i][v] != N + M){                                if(v >= N)                                    e[pre[i][v]][v - N]++;                                else                                    e[v][pre[i][v] - N]--;                            }                        }                        puts("SUBOPTIMAL");                        for(int u = 0; u < N; ++u)                            for(int v = 0; v < M; ++v)                            printf("%d%c",e[u][v],v+1 == M?'\n':' ');                        return;                    }                }            }        }    }    puts("OPTIMAL");    return;}int main(void){    //freopen("input.txt","r",stdin);    while(scanf("%d %d", &N,&M) != EOF){        for(int i = 0 ; i < N; ++i)            scanf("%d %d %d", &x[i], &y[i], &b[i]);        for(int i = 0 ; i < M; ++i)            scanf("%d %d %d", &p[i], &q[i], &c[i]);        for(int i = 0; i < N; ++i)            for(int j = 0 ; j < M; ++j)                scanf("%d", &e[i][j]);        solve();    }    return 0;}