数据结构（c++版）笔记整理——第一章

  

第1章 绪论

程序设计的实质是数据表示和数据处理。

数据存储在计算机内存中，即数据表示，其核心是数据结构；

而处理数据，设计（算法）方案，即数据处理，核心是算法。

 

1.1数据结构在程序设计中的作用

图灵奖获得者沃斯：数据结构+算法=程序。

1.2本书讨论的主要内容

（1）计算机求解问题分为：数值问题和非数值问题。

数值问题抽象出的数据模型——数学方程；

非数值问题抽象出的数据模型——线性表、树、图等数据结构。

（2）非数值问题的数据组织和处理，主要内容有：

●数据的逻辑结构：

线性表、树、图等数据结构，其核心是如何组织待处理的数据及数据之间的关系。

●数据的存储结构：

将数据结构存储到计算机的存储器中，其核心是如何有效的存储数据及数据间的逻辑关系。

●算法：

如何基于数据的某种存储结构实现插入、删除、查找等基本操作，其核心是如何有效的处理数据。

●常用处理技术：

查找技术，排序技术，索引技术等。

1.3数据结构的基本概念

1.3.1数据结构

●数据：所有能输入到计算机中并能被计算机程序识别和处理的符号集合。包括数值数据（整数、实数等）和非数值数据（文字、声音、图像、图像等）。

●数据元素：数据的基本单位，在计算机中通常作为一个整体进行考虑和处理。

●数据项：构成数据元素的不可分割的最小单位。

●数据结构：相互之间存在一定关系的数据元素的集合。

按照视点的不同，数据结构分为逻辑结构和存储结构。

★★逻辑结构：

数据元素之间逻辑关系的整体。常用逻辑关系图表示，描述方法：将每一个数据元素看作一个结点，用圆圈表示，元素之间的逻辑关系用结点之间的连线表示，如果强调关系的方向性，则用带箭头的连线表示关系。

●根据数据元素之间逻辑关系的不同，数据结构分为：

（1）集合：数据元素之间就是“属于同一个集合”，除此之外，没有任何关系。

（2）线性结构：数据元素之间存在着一对一的线性关系。

（3）树结构：数据元素之间存在着一对多的层次关系。

（4）图结构：数据元素之间存在着多对多的任意关系。

树结构和图结构也称为非线性关系。

★  ★存储结构（也称物理结构）：

数据及其逻辑结构在计算机中的表示，换言之，存储结构除了存储数据元素外，必须隐式或显式地存储数据元素间的逻辑关系。包括：顺序存储结构和链式存储结构。

●数序存储结构的基本思想：用一组连续的存储单元依次存储数据元素，数据间逻辑关系由元素存储位置表示，占据存储空间少。

●链式存储结构的基本思想：用一组任意的存储单元存储数据元素，数据元素间逻辑关系用指针表示，占据存储空间多，灵活。

数据的逻辑结构是从具体问题抽象出的数据模型，是用户视图，面向问题，反映数据元素间的关联方式或邻接关系。数据的存储结构是面向计算机的，其基本目标是将数据及逻辑关系存储到计算机内存中，是具体实现的视图。

数据的操作：插入、删除、修改、检索、排序。

1.3.2抽象数据类型

1.数据类型（data type）：

一组值的集合及定义与这个值集上的一组操作的总称，规定了该类型数据的取值范围和对这些数据所能采取的操作。

2.抽象（abstract）:

抽出问题本质特征而忽略其非本质的细节，是对具体事物的一个概括。

3.抽象数据类型（ADT）

一个数据结构及定义在该结构上的一组操作的总称。

数据类型和ADT的区别在于：数据类型指高级程序设计语言支持的基本数据类型，ADT指自定义的数据类型。

1.4 算法及算法分析

1.4.1 算法及其描述方法

算法：对特定问题求解步骤的一种描述，是指令的有限序列。

▲算法的重要特性：

(1)输入：一个算法有0或多个输入

(2)输出：一个算法有1或多个输出

(3)有穷性：一个算法必须在执行有穷不后结束，且每步在有穷时间内完成

(4)确定性：算法中每条指令必须有确切含义，在相同条件下，相同输入只能得到相同输出

(5)可行性：算法描述操作可通过已实现基本操作执行有限次来实现

程序：对一个算法使用某种程序设计语言的具体实现。

▲好的算法除了具有以上五个特性外，还好满足：

正确性、鲁棒性（健壮性）、简单性、抽象分级、高效性。

▲算法的描述方法有：

(1)自然语言

优点：容易理解；

缺点：容易出现二义性，且算法冗长。

(2)流程图

优点：直观易懂；

缺点：严密性和灵活性差。

(3)程序设计语言

优点：可由计算机直接执行；

缺点：抽象性差，使得算法设计者拘泥于描述算法的具体细节，忽略了好算法和正确逻辑的重要性，此外，还要求算法设计者掌握程序设计语言及其编程技巧。

欧几里得算法用C++语言编程如下：

#include <iostream>

intCommonFactor(int m,intn)

{

   int r=m%n;

   while (r!=0)

   {

      m=n;

      n=r;

      r=m%n;

   }

   return n;

}

int main()

{

   cout<<CommonFactor(63,54)<<endl;

   return 0;

}

(4)伪代码

介于自然语言和设计语言的方法，它采用某一程序设计语言的基本语法，操作指令可结合自然语言来设计。算法中自然语言有多少，取决于算法的抽象级别。抽象级别高的伪代码自然语言多一些；反之，则程序设计语言的语句多一些。

1.4.2 算法分析

◆◆度量算法效率的方法：

（1）事后统计

先将算法实现，然后输入适当的数据运行，测算其时间和空间开销；

缺点：（1）编写程序实现算法将花费较多的时间和空间精力

     （2）所得结果依赖于计算机的软硬件等环境因素，有时易掩盖算法本身优劣

（2）事前分析估算（渐进复杂度）

对算法所消耗资源的一种估算方法

◆◆

问题规模：输入量的多少

基本语言：执行次数与整个算法的执行次数成正比的语言

只考察当问题规模充分大时，算法中基本语句的执行次数在渐进意义下的阶，称为算法的渐进复杂度，简称时间复杂度，用大O（大欧）表示.

定义1—1 若存在两个正的常数c和n₀，对于任意n≥n₀，都有T(n)≤c×f(n)，则称T（n）=O(f(n))（或称算法在O（f(n)）中）。

◆  ◆

最好情况：数组的第一个元素就是k,算法只需比较一个元素即可

最坏情况：数组的最后一个元素是k,算法需比较n-1个元素

平均情况：在数组中查找不同的元素k，假设数据等概率分布，则平均需比较n/2个元素

◆  ◆

算法的空间复杂度：在算法执行过程中，需要的辅助空间数量。辅助空间是除算法本身和输入输出数据所占据的空间外，算法临时开辟的存储空间，通常记作：S（n）=O(f(n))

◆  算法分析举例

分析算法时间复杂度：找出所有语句中执行次数最大的那条语句作为基本语句，计算基本语句的执行次数，取其数量级放入大O中即可。

例1

++x;

时间复杂度：O(1),称为常量阶。

例2

for(i=1;i<=n;++i)

      ++x;

执行次数为n，时间复杂度为O（n）,称为线性阶

例3

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;++j)

++x;

执行次数n²，时间复杂度O（n²）,称为平方阶

例4

for(i=1;i<=n;++i)

      for(j=1;j<=n;++j)

      {

           c[i][j]=0;

           for(k=1;k<=n;++k)

                 c[i][j]+=a[i][k]*b[i][j];

      }

执行次数，时间复杂度O（n³）,称为立方阶。

例5

for(i=1;i<=n;++i)

      for(j=1;j<=i-1;++j)

           ++x;

执行次数，时间复杂度O（n²）

例6

for(i=1;i<=n;i=2*i)

      ++x;

执行次数，时间复杂度O（log₂n）,称为对数阶。

常见时间复杂度如下：

O(1)<O(log₂n)<O（n）<O(n* log₂n)<O(n²)<O(n³)<…<O(2ⁿ)<O(n!)