常用算法四（回溯算法）

来源：互联网发布：checkpoint软件下载编辑：程序博客网时间：2024/06/07 02:27

1、概念

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

2、基本思想

在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

3、用回溯法解题的一般步骤：

（1）针对所给问题，确定问题的解空间：

首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

（2）确定结点的扩展搜索规则

（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

4、算法应用示例：

八皇后问题的递归实现

[java] view plaincopyprint?
public class Empress {    
        
    private int n ; //皇后个数    
    private int[] x ; //当前解    
    private long sum ; //当前已找到的可行方案数    
    private static int h ;      //记录遍历方案序数    
    
    public Empress(){    
        this.sum = 0 ;  //初始化方案数为1，当回溯到最佳方案的时候，就自增1    
        this.n = 8 ;    //求n皇后问题，由自己定义    
        this.x = new int[n+1];  //x[i]表示皇后i放在棋盘的第i行的第x[i]列    
        h = 1 ; //这个是我额外定义的变量，用于遍历方案的个数，请看backTrace()中h变量的作用，这里将它定义为static静态变量    
    }    
    
    public boolean place (int k){    
        for (int j = 1 ; j < k ; j++){    
            //这个主要是刷选符合皇后条件的解，因为皇后可以攻击与之同一行同一列的或同一斜线上的棋子    
            if ( (Math.abs(k - j)) == (Math.abs(x[j]-x[k])) || (x[j] == x[k]) ){    
                return false ;  //如果是与之同一行同一列的或同一斜线上的棋子，返回false;    
            }    
        }    
        return true ;//如果不是与之同一行同一列的或同一斜线上的棋子，返回true;    
    }    
        
    public void backTrace (int t){    
        if (t > n){  //当t>n时,算法搜索到叶节点，得到一个新的n皇后互不攻击放置方案，方案数加1    
            sum ++ ;    //方案数自增1    
            System.out.println ("方案" + (h++) + "");    
            print(x);    
            System.out.print ("\n----------------\n");//华丽的分割线    
        }else { //当t<=n时，当前扩展的结点Z是解空间中的内部结点，该节点有x[i]=1,2，…,n共n个子结点，    
                //对于当前扩展结点Z的每一个儿子结点，由place()方法检测其可行性，    
                //并以深度优先的方式递归地对可行子树搜索，或剪去不可行子数    
            for (int i = 1 ; i <= n ; i++){    
                x[t] = i ;      
                if (place (t)){     //检查结点是否符合条件    
                    backTrace (t+1);    //递归调用                  
                }    
            }    
        }    
    }    
        
    public void print (int[] a){    //打印数组，没啥的    
        for (int i = 1 ; i < a.length ; i++){    
            System.out.print ("皇后" + i + "在" + i + "行" +a[i] + "列、");    
        }    
    }    
        
    public static void main (String[] args){    
        Empress em = new Empress();    
        em.backTrace(1);    //从1开始回溯    
        System.out.println ("\n详细方案如上所示，"+"可行个数为:" + em.sum);    
    }    
}/*output:八皇后问题只有92种方案，这里只给出其中的三个方案  
方案1  
皇后1在1行1列、皇后2在2行5列、皇后3在3行8列、皇后4在4行6列、皇后5在5行3列、皇后6在6行7列、皇后7在7行2列、皇后8在8行4列、  
----------------  
方案2  
皇后1在1行1列、皇后2在2行6列、皇后3在3行8列、皇后4在4行3列、皇后5在5行7列、皇后6在6行4列、皇后7在7行2列、皇后8在8行5列、  
----------------  
        .  
        .  
        .  
方案92  
皇后1在1行8列、皇后2在2行4列、皇后3在3行1列、皇后4在4行3列、皇后5在5行6列、皇后6在6行2列、皇后7在7行7列、皇后8在8行5列、  
----------------  
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