KMP算法分析

没碰算法久了大脑生锈得好快，看着 KMP 居然大脑一片空白，死活想不出当初怎么求 next 数组。google 一下，急躁地参考了一堆博客后终于想起来了。为了避免以后忘了又要浪费时间搜一遍，不如自己总结一篇吧！希望我的表述能帮更多人理解这个巧(qi)妙(pa)的算法。

本文的完整源码（JavaScript）以及图片的 PSD 源文件都在[这里]，有需要跟踪更新的可以 star，也可以 fork 个屌炸天的实现然后尽情嘲笑我。

领悟好的建议跳着读，只想看 next 数组求法可以跳到这里。

有什么问题尽管评论，但我很害羞的表喷我。

KMP 算法是什么？

• KMP 代表三个作者的名字，看维基去吧。
• 这是一个字符串查找算法，在一个字符串（S）中查找一个词（W）出现的位置。

KMP 算法怎么查找？

说起字符串查找，大家肯定能理解朴素的查法，就是以 S 每个字符为开头与 W 比较。O(m*n)

这时，一群热(xian)爱(de)思(dan)考(teng)的人就想，我觉得不够快，能不能再优化成 O(m+n) 啊？别说还真可以。

看下图，现在字符串查找过程中出现了不匹配：

按朴素算法，这里 W 应该右移一位然后重新匹配。但是，你有没有发现，目前为止，绿色部分在两个字符串中都是已知的。于是就有人想，如果出现下图这样的情况就好了：

如果是这样的话，我们就不用一个个比较了，直接滑动，跳过不匹配的就好：

以上就是 KMP 算法的思想啦，就是找到最长的滑动区间，是不是很简单！

怎么确定滑动区间？

我们可以建立一个数组，叫 next ，它跟 W 串一样长，next[ j ] 表示当 W[ j ] 与 S[ i ] 不匹配时，W 应该滑到哪个位置上。

所以一但不匹配时，查一下 next 值，让 S[ i ] 跟 W[next[ j ]] 继续比较就行啦。

现在的问题就变为：怎么计算 next 数组？

先看回上面的图二，要求 next 数组必须先知道蓝色部分才行。这就头大了，我们是要先求 next 数组再做匹配啊，那求 next 的时候肯定不能碰 S 串，不然就相当于没优化了。

但是不看 S 串又怎么知道蓝色部分相等了！你坑爹啊！

有没有开始烦了……稍安勿躁！（我最近刚尝试了画一了一幅 Low Poly，结果现在眼睛那个累啊！打心底佩服设计师们！）

再看回上面图二，由于绿色部分都是已经匹配的！所以就有了下面的关系：

之前我们假设了 2 和 3 是匹配的，现在看出了什么蹊跷没有？有没有豁然开朗的感觉？

没错，既然 2 与 3 是匹配的，2 与 4 是匹配的，那么 3 与 4 是不是一定是匹配的！有了这个传递关系我们现在只用 W 串就可以求出 next 数组啦！是不是省了很多时间！

准备求 next 数组

这节是求 next 数组前的一些热身概念，如果你有信心，可以直接跳到下一节。

1、对于 next[ 1 ]，请看灰色部分，在第二组中，因为 W[ 1 ]（图中的 a）前面只有一个字符（b），所以只要 W[ 1 ] 不匹配，不管 W[ 0 ] 是不是蓝色，W 总是会滑到开头的（图第三组）。好好理解这句话。
所以 next[ 1 ] == 0 总是成立的，这是一种特殊情况。你可以顺着灰色条看上去（注意是灰色部分哦），图第二组中 c 对应 W 的位置 1 在第三组是不是变成对应 0 了。

2、对于 next[ 0 ]，继续看图灰色部分，在第三组中，W[ 0 ]（b）就与 c 不匹配了，且 W[ 0 ] 左边已经没有字符了，这表示 S[ i ]（图中 c）肯定没戏了，所以要将 W 滑到 c 下一个字符的位置重新开始（图第四组），灰色部分的 0 现在是不是变成 -1 了。所以 next[ 0 ] = -1。这也是一种特殊情况。

3、最后再讲一下求 next 的核心思想，看下图中间的 W 。跟前面一样蓝色部分代表相等，于是有 W[ i ] == W[ j ]（j < i）。可以想象如果在 W 和 S 匹配过程中 W[ i+1 ] 不匹配了（与上面 S 的红色部分），那么 W 就要滑动且 W[ j+1 ] 将覆盖在 W[ i+1 ] 上（看最下面的 W）。所以 W[ i ] == W[ j ] 可以得出 next[ i+1 ] = j+1。

求解 next 数组

说了这么多，终于可以开始求解 next 数组啦！

先看下图：

假设求 next 数组过程到达了上面的阶段，即刚利用 i-1 求完 next[ i ]，现在利用 i 求 next[ i+1 ]。我们可以知道蓝色部分是相等的，因为刚刚求完 next[ i ] = j。现在对于 W[ i ] 和 W[ j ] 有两种情况：

• W[ i ] 和 W[ j ] 相等。这好办，参照上一节第 3 点，next[ i+1 ] = j + 1，然后 W[ i ] 和 W[ j ] 都向前继续看下一个字符（i += 1、j += 1）。（相当于把 W[ i ] 和 W[ j ] 合并到各自的蓝色部分中去）。

• W[ i ] 和 W[ j ] 不等。这时就要试图找下图的关系咯：

试图在 j 里找到一个 k，满足 W[ k ] == W[ i ] 且绿色部分相等。（虽然比 j 短一点，但有总比没有爽嘛。）

怎么确定 k 的位置？再仔细看一下上图，前面用过的一个策略，现在又要用上咯：

因为 1 和 2 相等，2 和 3 相等，所以 1 和 3 相等。所以现在变成了跟前面一模一样的问题 —— 只是规模变小了。嗅出动态规划的味道没有？假设你不知道动态规划，我们继续分析。

有了上面的传递关系，我们可以知道 k = next[ j ]，可以理解不？把上图左边一半单独看，假设在 W 和 S 匹配过程中 W[ j ] 不匹配了，那肯定是要滑到 next[ j ] 对不对？按照 next 数组的含义我们知道 next[ j ] 表示绿色部分是最长的咯，我们正好要为 k 找这样的值，所以 k = next[ j ]。

但如果 W[ k ] 和 W[ i ] 也是不相等呢？没关系，对 k 进行同样的查找（k = next[ k ]），再看有没有短一点的……一直找直到 -1 。

再次总结一下刚才的两种情况，对于 W[ i ] 和 W[ j ]：

• W[ i ] 和 W[ j ] 相等。next[ i+1 ] = j + 1，i += 1，j += 1。

• W[ i ] 和 W[ j ] 不等。j = next[ j ]。再次重复进行比较。

代码片段：

if (w.charAt(i) === w.charAt(j)) {  // 匹配成功之后两者都跳到下一字符继续匹配  next[++i] = ++j;} else {  // 滑动 j 继续匹配（短了一点还是可以接受嘛）  j = next[ j ];}

再看一下边界的问题，从前面一节的图可以知道，滑动最多滑到 -1，代表最左侧的空位咯，所以 j 滑动的最坏情况是滑到了 -1 。从前面一节我们也知道 j == -1 时, next[ i+1 ] == 0 == j + 1，所以：

if (j === -1 || w.charAt(i) === w.charAt(j)) {  next[++i] = ++j;} else {  j = next[ j ];}

现在考虑循环的问题，求 next 数组只需利用 i 遍历一遍。而对于 j ，因为 next[ 1 ] = 0，所以 j 初值为 -1 。再回想前面一节的第三点，我们是以 i 位置去算 next[ i+1 ] 的，所以 i 在 W1（即 W）倒数第二个位置就可以停止了。

var next = [], i = 0, j = -1;next[0] = -1;while (i < w.length-1) {  if (j === -1 || w.charAt(i) === w.charAt(j)) {    next[++i] = ++j;  } else {    j = next[j];  }}

就这样求完 next 数组啦！是不是超简单啊！

这里看不懂的话可以继续讨论。

小优化

对于 aaaab 这类的串，按上面的求法得出的 next 数组是 [-1,0,1,2,3]。其实对于中间的几个 a 来说，当其不匹配的时候，滑动到前面一位的 a 肯定也是不匹配了。所以应该直接滑到最前的一个 a 那里 [-1,-1,-1,-1,3]。

怎么实现呢？自己想吧！

弱弱的还是写一下吧，免得被人喷。

因为是以 i 求 next[ i+1 ]，那么只需判断一下 W[ i ] 是否等于 W[ i+1 ] 不就得了。

while (i < w.length-1) {  if (j === -1 || w.charAt(i) === w.charAt(j)) {    if (w.charAt(++i) !== w.charAt(++j)) {      next[i] = j;    } else {      next[i] = next[j];    }  } else {    j = next[j];  }}

KMP 算法实现

得到了 next 数组后就开始实现 KMP 匹配算法咯。其实跟求 next 数组大同小异。按照前面讲过的思路实现就行。最后如果 j 达到了 W 的长度，说明 W 字符全部匹配成功了。

i = j = 0;while (i < s.length && j < w.length) {  if (j === -1 || s.charAt(i) === w.charAt(j)) {    i += 1;    j += 1;  } else {    j = next[j];  }}if (j >= w.length) {  return (i - w.length);} else {  return 0;}

以上就是 KMP 算法啦，希望你以后都能记起来，写完这篇我是忘不了的啦。

本文的完整源码（JavaScript）以及图片的 PSD 源文件都在[这里]，有需要的可以 star。

有什么问题可以评论，我是 Jaward华仔。

就这样，么么扎~

参考资料

• 字符串匹配的KMP算法 - 阮一峰
• The Knuth Morris Pratt Algorithm In My Own Words - Jake Boxer
• Knuth–Morris–Pratt Algorithm - Wikipedia

（完）