对数的性质及推导

对数的性质及推导定义

自然语言表达式 ： 标准语言表达式 ：

若an=b(a>0且a≠1) 则n=log_ab 若a^n=b(a>0且a≠1)则n=log（a^b）

基本性质

1、alog_ab=b a^{log(a^b)}=b

2、log_a(MN)=log_aM+log_aN log{a^(MN)}=log(a^M)+log（a^N）

3、log_a(M÷N)=log_aM-log_aN log{a^(M/N)}=log(a^M)-log(a^N)

4、log_a(Mn)=nlog_aM log{a^(M^n)}=nlog(a^M)

5、log(an)(M)=1/nlog_aM log{（a^n）^M}=1/nlog(a^M)

推导

1、因为n=log_ab，代入则an=b，即a(log(a)(b))=b。

2、令log_a(MN)=b,则有_ab=MN；

令log_a(M)=c,log_a(N)=d,则有ac=M,ad=N；

(ac)*(ad)=a(c+d)=MN=ab；

则c+d=b；推出log_a(M)+log_a(N)=log_a(MN)。

3、令log_a(M÷N)=b,则有ab=M÷N；

令log_a(M)=c,log_a(N)=d,则有ac=M,ad=N；

(ac)÷(ad)=ac-d=M÷N=ab；

则c-d=b；推出log(a)(M)-log(a)(N) =log(a)(M÷N)。

4、令log_a(Mn)=b,则有ab=Mn； 令log_aM=c,则有ac=M；

ab=Mn=(ac)n=acn

b=cn；

log_a(Mn)=nlog_aM。

5、令log_an(M)=b,则(an)b=M,anb=M；

令log_aM=c,则ac=M；

ac=M=anb,则c=nb；

log_aM=nlog_an(M)；

log_an(M)=1/nlog_aM。