Manacher算法求最长回文串
来源:互联网 发布:exe反编译成c语言 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 02:22
思路:
资料来源网络 参见(有改动):http://www.felix021.com/blog/read.php?2040这道题是一道经典的Manacher算法讲解题目,Manacher是时间复杂度为O(n)的算法。比起蛮力法:对于O(n)的每一个点,都扫描该点的左右对称点,这种方法效率显然是O(n^2)的
算法巧妙之处:
首先用一个非常巧妙的方式,将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度:在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#, aba变成 #a#b#a#。 为了进一步减少编码的复杂度,可以在字符串的开始加入另一个特殊字符,这样就不用特殊处理越界问题,比如$#a#b#a#。前边的$主要是为了占位,使得算法可以从索引1开始。避开处理边界的情况。下面以字符串12212321为例,经过上一步,变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";
然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度(包括S[i]),比如S和P的对应关系:
S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #P 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1(p.s. 可以看出,P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度)
下面计算P[i],注意,由于manacher算法的处理顺序是从左往右扫描,则处理到i位时,对于任意j < i,P[j]已经被处理过了。该算法增加两个辅助变量id和mx,其中id表示i之前某一回文串的中心位置,id的位置很特殊,它使得id的回文半径P[id]向右延伸得最远,最远的位置即为mx:id+P[id],也就是最大回文子串的边界。这个算法的关键点就在这里,目的是使mx尽可能大地往右延伸以避免大量地计算前边不必要计算的重复值:如果mx > i,那么P[i] >= min(P[2 * id - i], mx - i)。具体代码如下:
当 mx - i > P[j] 的时候,以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中,由于 i 和 j 对称,以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中(想象下图以id为中轴进行旋转),所以必有 P[i] = P[j],见下图。
当 P[j] > mx - i 的时候,以S[j]为中心的回文子串不完全包含于以S[id]为中心的回文子串中,但是基于对称性可知,下图中两个绿框所包围的部分是相同的,也就是说以S[i]为中心的回文子串,其向右至少会延伸到mx的位置,也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称,就只能一个一个匹配了。
对于 mx <= i 的情况,无法对 P[i]做更多的假设,只能P[i] = 1,然后再去匹配了
下面给出原文,进一步解释算法为线性的原因
下面附HDU3068的代码:[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片#include <iostream> #include <string> using namespace std; const int MAX = 110010; char str[MAX]; char res[MAX << 1]; int p[MAX << 1]; int n; void process() { n = strlen(str); memset(res,'#',sizeof(char)*(2+n+n)); int i; for ( i = 0; i <= n; ++i ) res[i+i+2] = str[i]; n = i + i; } void manacher() { int id = 0,mx = 0,max = 0,i; for ( i = 1; i < n; ++i ) { if ( mx > i ) p[i] = min(p[id+id-i],mx - i); else p[i] = 1; while( res[i+p[i]] == res[i-p[i]] ) ++p[i]; if ( i + p[i] > mx ) { mx = i + p[i]; id = i; } if ( p[i] > max ) max = p[i]; } printf("%d\n",max - 1 ); } int main() { while(~scanf("%s",str)) { process(); manacher(); } return 0;
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