hdu-2516 斐波那契数sg值

不管怎样，我是先写出了前十个数的情况。

发现2，3，5，8是必败态，因此猜想凡是n的值为 斐波那契数就是先手的必败态，否则为胜态。

猜想完成当然要验证了，接下来

先证：n为斐波那契额数时，先手必败

当n=2时，先手必败；

当n=3时，先手必败；

假设n=fib[k-1]时，先手必败；

假设n=fib[k-2]时，先手必败；

那么，

当n=fib[k]=fib[k-1]+fib[k-2];

因为fib[k-1]<2*fib[k-2];

所以不可能先手第一次取超过fab[k-2]的棋子；

这就回归到了fib[k-2]必败的问题。

显然这样操作先手必败，证毕；

再证n=非斐波那契数是必胜态；

由于“任一个正整数都可拆分为不连续的斐波那契额数之和”（Zeckendorf's theorem）

以n=20为例：n=13+5+2；

此时我可以取2，而对手至多可以取4，既让对手面临5的必败态，然后再让对手面临13的必败态；

其它整数证明类似；

即：n=f[a]+f[b]+...(已按从小到大排列）

先手取f[a],因为2*f[a]<f[b]（a，b，不连续），故转变成了让后手面临斐波那契数组成的必败态。

证毕；

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#include <cstdio>int fib[50]={0,1,1};int main (){int n;for(int i=3;i<=46;i++)//2^31之内只有46个fibonaccifib[i]=fab[i-1]+fab[i-2];while(scanf("%d",&n)&&n){int sign=1;for(int i=1;fib[i]<=n;i++)if(fib[i]==n){printf("Second win\n");sign=0;}if(sign)printf("First win\n");}return 0;}