3d数学基础-矩阵

         矩阵用来描述两个坐标系统间的关系，通过定义一种运算而将一个坐标系中的向量转换到另一个坐标系中。

 

矩阵转置

         将矩阵里的元素沿对角线翻折，得出矩阵的转置，矩阵M的转置记为，如图。

         即：

矩阵乘法

一个r * n的矩阵A能够乘以一个n * c的矩阵B，其结果是一个r*c的矩阵，如图。

如果A的列数不等于B的行数，则矩阵乘法无意义，因为根据矩阵乘法的运算规则，乘后矩阵的某个元素是由A提供的行向量与B提供的列向量点积而成，如图。

 

相乘后矩阵的行数取A的，列数取B的，所以，一般左乘行向量，右乘列向量，这样才不会改变向量矩阵。

 

矩阵是怎么变换向量的

         先看一下基向量乘任意矩阵M的情况，如图。

 

         所以，矩阵的每一行都能解释为转换后的基向量。

         从矩阵的行中抽出基向量，可以想象出该矩阵代表的变换。

变换的组合

如果将世界坐标系中的一个任意方位的物体，渲染到一个任意方位的摄像机中，必须将物体的所有顶点变换到世界坐标系，接着从世界坐标系变换到摄像机坐标系。这时可以通过矩阵乘法的结合性，直接建立物体到摄像机的变换矩阵，减少一次直接对模型顶点的变换。

 

旋转矩阵公式

 

缩放矩阵公式

矩阵的逆和正交矩阵

         方阵M的逆，记作,也是一个矩阵当M和相乘时，结果是单位矩阵

      若M是正交矩阵，那么它的转置就等于它的逆，可以避免计算逆。

 

4x4平移矩阵